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(EUVRES DE FERMAT. — IE: PARTIE. 
XVII (p. 165). 
(Ad quastion. XXIII Libr. IV.) 
Invenire tres numeros, ut solidus sub ipsis contentus adseito quolibet ipsorum faeial 
quadratum. 
Non solum absque lemmate Diophanti ('), sed etiam absque dupli- 
cata :equalitate (?), solvetur quizstio. 
Ponatur solidum sub tribus 
primus numerorum sit 
secundus 
Ita namque duobus partibus propositionis satisfit. 
Pro tertio, dividatur solidum sub tribus, 1Q — 2N, per rectangu- 
(1) Soient x,, zs, »4 les trois nombres cherchés. La solution de Diophante revient à 
poser 
qug. dQX3X,zXxi-4- 22, 44343 -- X34 (x -- m)? 
d'ou 
* qa 23 
d. -— 2(m —1)x -4- m? et due a 
2(m —1)x -4- m? 
ll reste ainsi à satisfaire à une derniere condition, à savoir que x4»c3-:- x3 Soit cárré, 
Le lemme employé par Diophante consiste de fait à déterminer » en sorle que. x; soil 
linéaire en x, c'est-à-dire à satisfaire à la relation 
d'oü 
et enfin 
2(m-—1) —4mi; 
mss et qacdlc, avec 43-2 24x -- 4, 
Ec 
M zzgqdefg 
X4 X343 -- X3 — X - 3. 
expression qu'il est facile de rendre carrée. Il est aisó de voir que la solution de Fermat 
est au fond la méme; car on la retrouve, si l'on change x en N — 2. 
(3) L'emploi de la double équation était indiqué par Bachet, d'aprés la marche suivie 
par Diophante lui-méme dans le probléme suivant, qui ne différe de celui-ei que paree que 
chacun des nombres cherchés doit étre non pas ajouté, mais retranché du produit des 
trois, pour former les expressions à égaler à des carrés. Ici Bachet posait de fait 
I 
Qm, o 3 
Qu-—XmX-—It. 
et il ramenait le probléme à la double equation 
a?— r--1-a, qi—1-