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(EUVRES DE FERMAT. 
[86, 87] 
Cette construction faite, il est clair que IAS, menée par le sommet 
du diamètre MA parallèlement à l’ordonnée XN, est tangente à la para- 
bole en A. On prouvera de même que SB est tangente à la parabole 
XV.VN AS! . . 
en B. Donc (Apoll., HL, 17) gv vp 7 gg: Mats les quatre points X, 
; ; XV.VN ; AS? 
N, D, R étant donnés, le rapport cv est donné, done a5» donc 
MP ! . 
en’ Mais ÁSB est donné, comme égal, à cause des paralleles, au 
donne KVR. Ainsi, dans le triangle ASB, l'angle au sommet S est 
donné avec le rapport des cótés AS donc ce triangle est donné d'es- 
pèce, donc SAB et le rapport A donc, puisque AP = ; AB, le rap- 
port = est donné. Ainsi dans le triangle SAP, l’angle en À est donné 
avec le rapport des côtés A donc le triangle est donné d'espece, 
denc PSA est donné. 
Ceci posé, SP, qui passe par le milieu de la corde AB joignant les 
points de contact des tangentes, sera un diamétre de la parabole 
( Apoll., II, 29). Mais, dans la parabole, tous les diamètres sont paral- 
lèles, donc le diamètre MA est parallèle à SP, donc {AN = ASP. Mais 
A AN . AN . 
ASP est prouvé donné; done IAM, et son alterne-interne NMA. Mais 
M, milieu de NX, donnée de grandeur et de position, est donné. Donc 
MA, diamètre, est donné de position avec l'angle des ordonnées AMN 
et les deux points N, D de la parabole. Done, d'après le lemme, la 
parabole est donnée de position, et il est facile de remonter de l’ana- 
lyse à la synthèse. 
Il est clair que, dans ce dernier cas, deux paraboles satisfont au 
problème, car les droites DN, XR, supposées non parallèles, se ren- 
contrent, et alors, par le méme raisonnement, on peut tracer une 
varabole qui résout également le probleme.