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[113, 114] 
dans le plan considéré, la courbe NIP comme lieu ( fg. 89). Abaissons 
sur ce plan, des points À, E, C donnés par hypothèse, les normales AB, 
EF, CD. Le plan étant donné de position, ces normales AB, EF, CD, 
abaissées des points A, E, C donnés, seront elles-mêmes données, ainsi 
que leurs points de rencontre B, F, D avec le plan. Prenons sur le 
lieu NIP un point quelconque I, et joignons AI, BI, EI, IF, CI, DI. 
LIEUX EN SURFACE. 
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Les droites AI, EI, CI joignant aux points donnés A, C, Eun point 
du lieu, la somme des carrés de ces droites est égale à l'aire donnée. 
Si l'on en retranche les carrés des normales AB, EF, CD, lesquelles sont 
données, comme nous l'avons prouvé, la différence sera BP--FP--DTP, 
somme qui des lors sera donnée. Or les points B, F, D sont donnés 
dans le plan supposé, ainsi que nous l'avons vu; ainsi, on a des droites 
BI, FI, DI menées de points B, F, D donnés dans un même plan, 
droites concourant en un méme point d'un lieu dans le méme plan, et 
dont la somme des carrés est égale à une aire donnée; d'aprés un 
théorème d’Apollonius que nous avons restitué depuis longtemps, on 
sait que le lieu NIP est un cercle donné de position. 
Une analyse absolument semblable donnera les mèmes consé- 
quences pour tout autre plan que l'on prendra; tous ces plans quel- 
Conques, en nombre indéfini, donneront donc toujours des cercles 
comme lieux; d’après le lemme 2, la surface cherchée sera done une 
sphère. 
En effet, quand nous cherchons un lieu en surface satisfaisant à une 
question, rien ne nous empêche d'imaginer que la surface cherchée 
Fernmatr. — III. 
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