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ŒUVRES DE FERMAT.
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est coupée par le plan choisi. Mais ici la section ne peut étre qu'un
cercle, car nous avons prouvé qu'un cercle satisfait comme lieu à la
même condition que la surface cherchée; il faut donc que ce cercle soit
situé sur ladite surface. Il est done clair que, dans le cas proposé, le
lieu en surface est toujours coupé par un plan suivant un cercle, et
par conséquent que c'est une sphere.
On démontre de méme les lieux suivants :
Si de points en nombre quelconque, donnés dans un ou plusieurs plans,
on mêne des droites concourant en un même point, et que la somme des
carrés d’une partie des menées soit à la somme des carrés des autres dans
un rapport donné ou dans une différence donnée, ou plus grande ou plus
petite d'une quantité donnée que dans un rapport donné (*), le point de
concours sera sur une sphére donnée de position.
Des artifices analogues feront reconnaitre une infinité de tres belles
propriétés de la surface sphérique.
Soient, en nombre quelconque, des plans donnés de position ; si d'un
méme point on méne à ces plans donnés, sous des angles donnés, des
droites dont la somme des carrés soit égale à une aire donnée, ce point
sera sur la surface d'un sphéroide donné de position.
Faisons l’analyse en prenant, suivant la méthode indiquée, un plan
quelconque donné de position; cherchons-y, suivant les règles pour
les lieux plans et solides telles que nous les avons autrefois exposées
dans le plan, le lieu des points dont la somme des carrés des menées
aux plans donnés sous les angles donnés est égale à l'aire donnée.
La construction se présente immédiatement; le plan que nous avons
pris est en effet donné de position aussi bien que les autres plans
donnés; les intersections de ce plan choisi et des plans donnés seront
donc également données. Les droites menées aux plans donnés d'un
point quelconque du plan supposé recevront donc facilement une ex-
pression analytique. Si l’on fait la somme de leurs carrés et qu'on
(1) C'est-à-dire, en général, soit une fonction linéaire
