ŒUVRES DE FERMAT. 
puis entre le second et le troisieme, puis entre le troisieme et le qua- 
trième, on aura $ moyennes entre les deux lignes proposées en pre- 
mier lieu. 
Si l'on demande maintenant 14 moyennes entre deux données, 
l'équation a'* — b'^d montre que le probléme se raméne à deux autres, 
l’un du 3°, l’autre du 5° degré. 
On voit ainsi que l'exposant de la puissance unique doit étre un 
nombre premier pour exprimer et représenter véritablement le degré 
du probléme. 
Comme d'ailleurs je considere comme certain que les nombres obtenus 
en ajoutant l’unité aux carrés successifs que l’on forme en partant de 2 
sont toujours premiers, théorème dont j'ai depuis longtemps annoncé la 
vérité aux analystes, je veux dire que les nombres 
120 
[130, 131] 
3, 5, 17, 297, 65537, ... à l'infini 
sont premiers; il n’y a aucune difficulte pour trouver un procede per- 
mettant de construire un problème dont le degré soit dans un rapport 
plus grand que tout rapport donne avec le degré des courbes que servent 
à le résoudre. 
Par exemple, soit proposé de trouver entre deux données 
256 moyennes proportionnelles, on aura l’équation a?" = 6°°*d; on 
égalera les deux termes à a**°e**d, et la question sera résolue par des 
courbes du 17° degré. 
Si l’on cherchait 65536 moyennes proportionnelles, le problème 
serait résolu par des courbes du 257° degré, et ainsi de suite indéfini- 
ment, en abaissant le degré du plus grand nombre à celui du nombre 
immédiatement inférieur. Et qui ne voit qu'en deux nombres consé- 
cutifs, le rapport augmente indéfiniment? 
Les Cartésiens essayeront-ils encore de dissimuler l'erreur de Des- 
cartes? Quant à moi, je m'abstiens de rien prévoir : j'attends avec 
intérét, mais sans rien ajouter de plus, ce qu'il adviendra à ce sujet.