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les points d'intersection de l'hyperbole et du demi-cercle satisferont 
à la question. Mais, comme le produit FE >< EB doit étre maximum, il 
s'agit en fait de construire une hyperbole qui ait pour asymptotes 
AF, FC et qui, au lieu de couper le demi-cercle, lui soit tangente, soit 
en B; car les points de contact déterminent les quantités maxima ou 
minima. 
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Supposons le probleme résolu : si l'hyperbole touche le demi-cercle 
en B, la tangente en B au demi-cercle sera également tangente à l'hy- 
perbole. Soit ABC cette droite. Elle est tangente à l'hvperbole en B et 
rencontre les asymptotes en A et C; donc, d’après Apollonius, AB — BC; 
par suite, FE — EC et AF — 3BE — 2AN. Mais, comme tangente au 
cercle, BA — AF; donc BA — 2AN, et à cause de la similitude des 
triangles, si M est le centre, MB = 2 ME. Mais le rayon MB est donné: 
donc le pointE le sera. 
On peut de même ramener en général toute recherche de maximum 
ou de minimum à la construction géométrique d'une tangente; mais 
cela ne diminue en rien l'importance de la méthode générale, puisque 
la construction des tangentes en dépend, aussi bien que la détermi- 
nation des maxima et des minima. 
V1 
SUR LA MÊME MÉTHODE. 
La théorie des tangentes est une suite de la méthode, dés longtemps 
publiée pour l'invention du maximum et du minimum, qui permet de 
résoudre très aisément toutes les questions de limitation, et notam- 
ment ces fameux problèmes dont les conditions-limites sont indiquées 
comme difficiles par Pappus (Livre VIT, préf.)- 
Les lignes courbes dont nous cherchons les tangentes ont leurs pro- 
priétés spécifiques exprimables, soit par des lignes droites seulement,