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(EUVRES DE FERMAT. 
[ 173, 176 
Soit le cerele AHBM, dont ANB est un diametre et N le centre; sur 
la circonférence de ce cercle je prends un point M quelconque, je 
mène le rayon MN et j'abaisse sur le diamètre la perpendiculaire MD. 
Soit donné d’autre part le rapport D" en supposant DN 7 N8; en $ 
j'éléve au diametre la perpendiculaire SH qui rencontre la circonfé- 
rence au point H; je joins ce point au centre par le rayon HN. Posons 
DN MN . à: T , sd; 
ws = No Je dis que la somme IN + NH est minima; € est-à-dire que 
si l’on prend un autre point quelconque, R par exemple, sur le rayon 
NB, que l’on joigne MR, RH et que l’on fasse NS = m on aura 
PR + RH > IN + NH. 
; MN RN DN. NO au 
Pour le démontrer, faisons yx = NO * Ns — NV Il est clair que, 
par construction, puisque DN est plus petit que le rayon MN, on aura 
NO < NR; de méme, puisque NS ND, on aura NV< NO. 
Cela posé, on a, d’après Euclide : MR? = MN? + NR? + 2 DN.NR; 
mais puisque, par construction, UN = Ns on a MN.NO = DN.NR; 
donc 2MN.NO = 2DN.NR; donc MR? = MN? + NR* + 2 MN. NO. 
Mais, puisque NR > NO, NR? — NO?; done 
Mz 
H^ 
N; 
Or 
H. 
hi 
MR? > MN? + NO? + 2MN. NO. 
Mais la somme MN? + NO? + 2MN.NO = (MN + NO)*. Done 
MR > MN + NO. 
y . DN MN NO, 
D'autre part, par construction, xz — wy — Ny) donc 
DN. MN-- NO 
NS ^ IN— NV. 
Van . DN MR, MN-NO MR q,. 
Mais on a aussi yg = Rp’ donc INCNV ^ BPO Or MR > MN + NO; 
donc aussi RP > IN + NV. 
Il reste à prouver que RH > HV; car, s’il-en est ainsi, il est clair que 
PR + RH > IN + NH. 
pe 
qU 
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