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[190, 191]
PROBLEME D’ADRIEN ROMAIN.
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quelconque de termes en continuant à appliquer la méthode dont il
s'est servi; cette Table permet de reconnaitre quelle équation corres-
pond à une division spéciale des angles.
Ainsi, si l'on prend d'abord, dans les rangs impairs, z* — 3x et
qu'on égale cette expression à un nombre donné qui soit au plus égal
à 2, la question se ramène à la trisection de l'angle. Si ensuite on égale
2’ — 52° + Sx à un nombre donné qui soit au plus égal à 2, la ques-
tion se ramene à diviser un angle en cinq parties égales. Si c'est
x" — 72° + 142° — 72 que l'on égale encore à un nombre donné au
plus égal à 2, il s'agira de prendre la septiéme partie d'un angle; si
l'on continue indéfiniment la Table de Viete selon la méthode qu'il a
donnée, le premier membre de l'équation proposée par Adrien sera le
45° terme de la Table, et la question sera ramenée à prendre la 45° partie
d’un angle donné.
Mais il faut observer que, dans toutes ces équations, la méthode de
Viete et l'emploi des sections angulaires ne sont applicables qu'aux
cas où, comme nous l'avons dit, le nombre donné, auquel on égale
une quelconque des expressions algébriques de la Table, ne dépasse
pas2; si au contraire ce nombre donné est supérieur à 2, aussitót tout
ce mystere des sections angulaires devient inutile et ne rend plus
aucun service pour la solution de la question proposée.
Cependant Adrien avait proposé en général de résoudre l'équation
en s'en donnant le second membre ; il faut donc recourir à un autre
moyen qu'aux sections angulaires de Viète.
Si l'on propose tout d’abord, comme premier cas, d’égaler x* — 3x
à un nombre donné qui soit au plus égal à 2, la question, comme nous
l'avons déjà indiqué, se ramène à la trisection de l'angle; si, au con-
traire, on égale x? — 3x à 4 ou à tout autre nombre supérieur à 2,
l'équation proposée est résolue par les analystes au moyen de la
méthode de Cardan. Mais, dans les autres cas suivants, la solution
peut-elle être obtenue indéfiniment par des extractions de racines,
voilà ce que les analystes n’ont pas encore essayé; mais pourquoi ne
pas faire progresser l’Algèbre de ce côté, surtout sous vos auspices,