rencontrent en dehors de la courbe la base AF et l'axe FG. Je prends sur 
une courbe de cette nature un point quelconque H par lequel je mene la 
tangente IHK; sur celle-ci je prends, de cóté et d ‘autre, les points X, 1, 
d'où j'abaisse IB, KD perpendiculaires sur la base AF et coupant la 
courbe aux points R, M. Je dis que le segment WI de la tangente est plus 
petit que l'arc de courbe RH, qu'au contraire le segment HK de la méme 
tangente est plus grand que l'arc de courbe HM 
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(EUVRES DE FERMAT. 
[212, 3] 
Ig. 120 
En effet, puisque, par hypothese, la tangente KI rencontre la base 
AF en dehors de la courbe, l'angle CHI que fait la perpendieulaire HC 
à la base avec la tangente HI est plus petit qu'un droit, et par con- 
séquent la perpendiculaire abaissée de H sur la droite BI tombera 
en V au-dessus des points B, R, I. On en conclut que HV « HI et que 
HI est plus petit que la droite qui joint les points H, R. Donc, a for- 
tiori, HI est plus petit que l'are de courbe HR sous-tendu par cette 
droite qui joint les points H, R. Premier point qu'il fallait démontrer. 
Je dis maintenant que le segment KH est plus grand que l'arc de 
courbe HM. Du point K je méne à la courbe la tangente KN, et j'abaisse 
la perpendiculaire NE. Il est prouvé, par ce qui précède, que 
KN < are NM. Mais, d'apres Archimede, la somme des tangentes 
HK + KN > arc HN. Donc segment HK > arc HM. Second point qu'il 
fallait démontrer. 
Il n'y a pas à objecter que la tangente menée du point K peut tomber 
au delà du point G. Car, dans ce cas, on peut prendre un autre point 
entre K et M, et employer le raisonnement précédent. 
[t scrr de là que, si des points K, I on abaisse sur l'axe des perpen- 
[4 
D