, 991] 
utant 
x, H, 
urbe 
entes 
aires 
cion- 
e l'on 
prends 
et, KE 
de, de 
contre 
mment 
ndieu- 
ant les 
» de la 
ulsque 
(221, 222] 
DISSERTATION GÉOMÉTRIQ UE. 
189 
Nous prouverons de méme que l'on aura, entre les tangentes et les 
ordonnées, les rapports : Hn = kt: AS == ley enfin EF — i. 
Mais, puisque HT = kr en égalant le produit des extrémes à celui 
des moyens, on a NH.HI = KL.ZV. De mème, OG.GH — KL.YT, et 
PF.FG — KL.XS, enfin EQ.EF = KL. ER. 
Mais pourquoi s'arréter plus longtemps sur une question aussi 
facile, lorsque nous arrivons ainsi immédiatement à la méthode d’Ar- 
chimède? En inscrivant et en circonscrivant les figures au segment 
parabolique, la somme de tous les rectangles QE.EF, PF.FG, OG.GH, 
NH.HI, représentera le segment parabolique EQMI ; la somme des tan- 
gentes ER, XS, YT, ZV, en redoublant la circonscription, conformé- 
ment aux règles de notre méthode, représentera la courbe même 
EXYZA. Donc le segment parabolique EQMI est égal au produit de KL 
par la courbe EXA. Or le segment parabolique EQMI est donné en 
rectilignes, puisque Archimede a carré la parabole et par consé- 
quent ses segments. Donc le produit KL x ÉXA est donné ; mais KL 
est donné, donc la courbe EXA, et l'on peut trouver une droite qui lui 
soit égale. C. Q. F. D. 
É 
1 
Si quelqu'un trouvait cependant cette démonstration trop rapide, je ne 
refuse pas de donner à part le raisonnement complet, en suivant les traces 
d'Archiméde; ceux qui estiment que ce qui précède ne suffit pas pourront 
lire et examiner le raisonnement qui suit : 
CS 
Il faut prouver que le segment parabolique EQMI = KL x EXA. 
Posons, d’après Archimède, EQMI — KL x D. KL et B sont donnés. 
Si nous prouvons que 8 = EXA, notre proposition sera établie. 
Je dis donc que 8 = EXA. Si en effet elle n'est point égale à cette 
courbe, elle sera ou plus grande ou plus petite. Soit d’abord 8 > EXA 
et soit, dans cette hypothèse, à leur différence. 
D'après la proposition II, nous pouvons circonscrire à la courbe EXA 
une figure composée de segments de tangentes et qui soit supérieure 
à la courbe d’un intervalle moindre que à. Supposons cette circon-