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(EUVRES DE FERMAT. 
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paramètre ; soit KMOQ cette parabole; par les points E, F, G, H, I, 
j'élève des perpendiculaires à la base qui rencontrent cette parabole 
aux points Q, P, 0, N, M. 
D’après le corollaire de la proposition précédente, comme EX0 est 
la seconde courbe dérivée de la première, c’est-à-dire formée par le 
procédé que nous avons déjà indiqué plusieurs fois, si l’on y prend 
un point quelconque Y, et que l'on mene le segment de tangente YT, 
yr: | KG ar M . 
on 2 gp 7 KL Mais, en multipliant de part et d'autre par KL, 
ut = GR = RL, et, d'apres la nature de la parabole simple, 
, ane yr __ GO? , YT GO ,( | 
GK x KL = GO?. Donc 5 7 KL etag BE 9?" en égalant le pro 
duit des extrémes à celui des moyens, GO »« GH — KL x YT. 
Si l'on mene les autres tangentes ER, XS, ZV, rencontrant les per- 
pendiculaires en R, S, V, on prouvera de méme que 
QE x EF — KL x ER, PF x FG = KL x XS; 
et ainsi de suite indefiniment. 
D'où, en ramenant à la méthode d’Archimède par le même procédé 
que dans la proposition IV, on conclura que le segment parabolique 
EQMI est égal au produit de KL par Parc EXO de la seconde courbe. 
De méme pour les autres segments paraboliques : par exemple, 
segm. EQPF = KL x EX; segm. EQOG — KL x EXY; et ainsi de suite 
indéfiniment. 
Or tous ces segments paraboliques sont donnés en rectilignes par 
la quadrature de la parabole qu’Archimède a démontrée; KL est éga- 
lement donné. On a donc également comme données tant la seconde 
courbe totale EXO que les arcs EX, EY, etc., interceptes sur elle par 
les perpendiculaires élevées aux points F, G, ete. 
Pour égaler à une droite donnée la troisième courbe, la construc- 
tion sera la même, sauf que l'on prendra IK — 3AB; pour la quatrieme 
courbe, IK — 4AB; et enfin on établira, entre toutes les courbes à 
dériver indéfiniment de la premiere, cette relation : que deux quel-