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[281, 282]
Par la méme méthode j'ai carré la courbe de Dioclés ou plutót j'ai
ramené sa quadrature à celle du cercle.
Mais le redoublement des opérations est surtout élégant lorsque
l'analyse passe des plus hautes puissances des ordonnées aux plus
basses, ou au contraire des plus basses aux plus hautes; cette méthode
s'applique en particulier pour trouver la somme des ordonnées dans
une courbe quelconque proposée, ainsi qu'à beaucoup d'autres pro-
blemes de quadratures.
Soit proposée, par exemple, la courbe dont l'équation est
METHODE DE QUADRATURE.
b?
a?
e?
5
et qu'on voit immédiatement étre un cercle. On demande la somme
des cubes des ordonnées, c'est-à-dire la somme des e?.
Si la somme des e? est donnée, on peut, par les méthodes précé-
dentes, en raison de la nature de la puissance, déduire de cette courbe
une autre sur la base, où la somme des ordonnées soit donnée. Soit
posé, d’après la méthode, re = a. Substituant à a sa nouvelle valeur,
il vient b?e* — e* = b*o*, équation d’une courbe où, dans l'hypothèse
que la somme des e? de la première courbe est donnée, la somme des o
sera donnée.
Puisque, dans cette nouvelle courbe, la somme des o est donnée, on
peut en dériver une troisième où l’on cherche la somme des carrés des
ordonnées, et non celle des cubes comme dans la première courbe.
D'après notre méthode pour les carrés, nous poserons, comme on l’a
vu, X = 0; d’où b?et — e* — D?e?w?, Divisant tout par e^, il viendra
be? — e^ — b*u?, courbe oü la somme des e? doit étre donnée. Partant
de cette courbe, cherchons-en une où soit donnée la somme des ordon-
nées; posons par exemple e= by;-la dernière équation deviendra
by—y*= u*. Si donc, dans la précédente, la somme des e? est donnée,
dans celle-ci on aura celle des by, do nc celle des y.
Or dans cette dernière courbe, qui est évidemment un cercle, la
somme des y est donnée, en supposant toutefois la quadrature du