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OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 
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20. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 44. 
, a (a 2-1 ; 
«Résoudre : (1+ æ2+ x3) wy = rn (@1+ da 25) rs B25 (24+ Zp Tg) 3 = v3 
avec la condition que a soit entier, xy, s, as, P, Y pouvant étre simplement rationels 
Si l'on pose +, + x2 + x3 = a% et § = x2 — z?, on arrive à la condition 
ale -- I1) . 
— z 22349. 43 — zk; d’où (24 4-1)? — 162222 — 843 — 8z*4- . 
On résoudra en ógalant cette derniere expression à (4zx — 0)2: mais « ne peut guère 
être obtenu entier qu'en prenant 8 = 1. » 
Bachet n’a pas fait des essais suffisamment rigoureux. Prenons en 
effet [pour y*] un cube arbitraire dont la racine soit de la forme 
3n+1. 
es 
nt 
m- 
on 
1a 
les 
Nous aurons, par exemple, à égaler 222— 344à un triangle Es | 
etr6a*— 2751 à un carré [(2« +1)?]; or on peut, si l’on veut, prendre 
pour racine de ce carré 4x — 3, etc. 
Rien n'empêche, en effet, de généraliser la méthode et de prendre 
au lieu de 3 un autre nombre impair tout à fait queleonque, sauf à 
choisir le cube en conséquence. 
21, — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 45 
« Diophante enseigne dans ce probleme A traiter la double équation 
re- 
(les 
es, 
ent 
les 
dès 
az-b-[, ac--b-[, 
d 
pour le cas ol a et à, sont différents et où d'ailleurs le rapport de « à a, n'est pas un 
carré, mais en supposant que à et b; soient des carrés inégaux; Bachet montre que la 
solution est également possible, à et b, étant quelconques : 1° si, en supposant 7 > «;, 
le rapport de ab,— ba, à a — a, est carré; 2? si, avec la même hypothèse @ > à. le 
rapport de a, b — b, à à a, est carré. » 
Mais que l’on propose, par exemple, la double équation 
22 +5 =0], 6x +3 =1[7: 
ON pourra prendre les carrés 16 = 2æ + 5, 36 = 6x + 3: et il vena 
une infinité qui satisfont de méme à la question. Il n'est pas d'ailleurs