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[309, 311] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 
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à ce que cette question soit possible; elle est donc à examiner plus 
profondément. 
J'ai résolu le probléme; bien plus, pour un triangle donné quel- 
conque, j'en fournis une infinité ayant la méme aire. Soit, par 
exemple, 6 l'aire du triangle 3.4.5, en voici un autre de méme 
aire : A TU ou, si l'on veut le méme dénominateur : 
49 ,1200 1201 
70 70 70 
Voici le procédé qui peut, sans exceptions, s'appliquer indéfini- 
ment. Soit un triangle quelconque, d'hypoténuse z, de base 5, de 
hauteur d. On en déduira un autre triangle non semblable, mais de 
méme aire, en formant ce nouveau triangle avec les nombres z? et 
26d, sauf à diviser par 225? — 2zq? les expressions du quatrieme 
degré qui représentent les cótés. Le triangle ainsi obtenu aura tou- 
jours une aire égale à celle du triangle dont il dérive. 
Du second triangle ainsi déterminé, on en déduira, par la méme 
méthode, un troisi&me;.de ce troisième un quatrième; du quatrième 
un cinquième, et on aura ainsi une série indéfinie de triangles dis- 
semblables et de même aire. 
Pour que l’on ne doute pas qu'il soit possible d'en donner plus 
de trois, à ceux de Diophante : 40.42.58, 24.70.74, 15.112.113, 
jen ajoute un quatrieme dissemblable et de méme aire : hypoté- 
nuse 1412881 base 1412880 hauteur 1681 
1189 1189 1189 
Si l’on réduit tous ces nombres au même dénominateur, on aura, 
en entiers, les quatre triangles suivants de même aire : 
ro 
po 
30 
A 
47 560, 49 938, 68 962; 
28 536, 83 230, 87 986; 
17 835, 133 168, 134 357; 
1 681, 1 412 880, I 419 881. 
On pourra en trouver une infinité de méme aire en poursuivant 
l'application du procédé, et des lors étendre le probleme suivant de 
Diophante au delà des bornes où il l’a restreint.