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(EUVRES DE FERMAT. 
[315, 317] 
Je considère encore le quatrième terme de la seconde progression; 
le méme procédé me donne les nombres 512 et 149. Il faudra donc 
que le nombre donné ne soit ni 149, ni la somme de 149 et d'un mul- 
tiple de 512. 
Voilà la méthode uniforme dont l'application doit se poursuivre in- 
définiment, et qui n'a pas été indiquée par Diophante dans sa généra- 
lité, ni reconnue par Bachet lui-méme; les essais de ce dernier ont 
méme été fautifs, non seulement pour le nombre 37, comme je l'ai 
déjà indiqué, mais aussi pour 149 et les autres, qui tombent égale- 
ment dans les limites des essais qu'il déclare avoir faits | jus- 
qu’à 325 |. 
98. — Diophante, V, 19 
« Résoudre : 
(ade macer) — xy = a}, (ant Mat ra) — Xi aj, (Bik Ek y) — d 0$ > 
Ou bien le texte grec est corrompu, OU bien Diophante n'a pas 
exprimé le moyen par lequel il a obtenu sa solution. Bachet croit qu'il 
a été aidé par le hasard, ce que je n’admets guère, car je pense que sa 
méthode n’est pas difficile à retrouver. 
Il s’agit de trouver un carré plus grand que 2, mais plus petit que 3, 
et dont la différence avec 3 se partage en trois cubes ('). 
Prenons, pour racine du carré cherché, une expression composée 
Lun terme en x et de — 1, par exemple : 2 — 1. Si je retranche de 
le carré de cette expression, il reste : 2 + 29 — æ*, qu’il s'agit de 
décomposer en une somme de trois cubes de façon que l’équation se 
réduise à deux termes de degré consécutif. 
On peut y arriver d'une infinité de façons : soit 1 — 3a la racine de 
l’un des cubes; pour celle du second, prenons 1 + «X, afin que la 
. x 1 T : 
(1) Si, d’après la marche de Diophante, on pose X1 dace cm aoo 2 
1 
z . ; "al I ! ! i 
x3 = —, on arrive a la condition 2? (3 — —— ——o)]^7V* Diophante suppose 
m mi m3 ma 
1 I I I . . . * FEM * . 2 
++—+— <N le carré — doit donc satisfaire aux conditions indiquées par 
m3 mi mi z2 
Fermat.