TRADUCTION DE L’INVENTUM NOVUM. 327
« Le subtil et savant analyste Bachet a distingue assez heureuse-
ment, à propos de la question VI, 94 de Diophante, les divers modes
et cas de l'équation double; cependant il n'a pas moissonné tout le
champ ouvert devant lui; en effet, rien n'empéche de donner des solu-
tions en nombre indéfini pour les problémes auxquels il n'en trouve
qu'une ou deux tout au plus. Bien plus, il est aisé d'accomplir ce pro-
gres et d'obtenir ce résultat par une opération facile.
» Soit proposé le sixième mode qu'il détaille assez prolixement
pages 439 et 440; tous les cas qu'il a énumérés (*), grâce au pro-
cédé que je vais indiquer, sont susceptibles d'une infinité de solu.
tions qui dérivent successivement de la première, si l’on réitère indé-
finiment la même analyse.
» Voici ce procédé : Cherchez la solution de la question proposée,
selon la méthode ordinaire, c’est-à-dire celle de Bachet ou de Dio-
phante; ayant ainsi obtenu une valeur numérique de l'inconnue, re-
commencez l'analyse, en prenant, pour valeur de la nouvelle inconnue,
æ plus le nombre trouvé précédemment comme solution. Le problème
se trouvera ainsi ramené à une nouvelle équation double dans laquelle
les termes indépendants de z se trouveront carrés, en vertu de l'emploi
de la premiere solution; par suite la différence entre les deux expres-
sions se trouvera composée seulement de termes en zx? et en x, c'est-
à-dire de degrés consécutifs; cette nouvelle équation double pourra
donc se résoudre d'apres la méthode de Diophante ou de Bachet. La
seconde solution ainsi obtenue permettra, par le méme artifice, d'en
caleuler une troisième, celle-ci une quatrième, et ainsi de suite indé-
finiment.
» Cette remarque, qui a échappé à Diophante, à Bachet et même à
Viète, comble la plus grave lacune que présente actuellement l'ana-
lyse de ces questions. Mais le principal intérét de ma découverte res-
_ (4) Le sixième mode de Bachet correspond à l'ensemble des différents cas pour lesquels
il obtient une solution de l'équation double sous sa forme générale -
ax?+br+c=[7, a! x 4- bx+¢ =].
