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carré, on aurait deux nombres carrás entiers qui ne différeraient que 
de l'unité, ce qu'on sait étre absolument impossible. 
Dans le cas oü la chose est possible, nos régles donnent non pas 
les seuls, mais cependant zous les carrés entiers. Elles donnent en 
effet tous les carrés demandés possibles, tant entiers que fraction- 
naires. Pour ne pas paraître parler au hasard, je vais le démontrer. 
Soit /? un éarré quelconque satisfaisant à la condition proposée; 
on aura nf? +p égal à un carré, soit 22. 
Prenons maintenant r — =, je dis que /* sera i. que donne la 
règle ci-dessus exposée. On a en effet Dg cr EE Mais 
COMMERCIUM DE WALLIS. 
433 
4) 5 51 € p I , 
nf? +1=, Done # — I = nf? etn = ra Par consequent, 
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et par suite, comme 27 = — 
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Of p =f= d" ou bien f?= A 
Ainsi la règle précitée fournit le carré f^, c'est-à-dire un carré 
quelconque satisfaisant à la condition proposée. 
(La démonstration se ferait de méme, mutatis mutandis, pour l'autre 
régle.) 
La régle précitée fournit done une infinité de nombres carrés satis- 
faisant à la condition proposée et d’ailleurs, dans le cas où la chose 
est possible (c’est-à-dire si le nombre donné est non-carré), une infi- 
nité de carrés entiers. 
Il faut, de plus, que i — f? soit entier et il faut fournir une infi- 
ièce 
jre- 
des 
nité de tels carrés. 
Pour cela, parmi le nombre infini que donne la règle, on choisira 
arbitrairement un carré entier quelconque, satisfaisant à la condition 
FERMAT. — HI 
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