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COMMERCIUM DE WALLIS. 
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proposer sous une troisieme forme? demandera-t-il que les carrés 
entiers satisfaisant à la condition solent fournis, non pas seulement 
en nombre infini, mais absolument tous? Cela, nous pouvons également 
le faire. 
Qu'il en soit d'ailleurs ainsi que je l'ai dit, pour ne pas parler vai- 
nement, je vais le démontrer. 
Il a déjà été prouvé que 47 satisfait à la condition ; reste done à faire 
que 4 — f? soit un nombre entier, par suite que sa racine 5 =f 
soit un nombre entier, ou autrement, que d — |n — ¢| soit une partie 
aliquote du nombre or. 
Or il peut se faire que 2r, et dès lors 44, ne soit pas entier; substi- 
tuons donc à ¢, = et à 7, z. Nous aurons 
2r 25 2ae 
deri [g-.] imm 
PE 
F' 
2 
Ainsi, f'sera un nombre entier toutes les fois que|a? — ne? [sera une 
partie aliquote du nombre 2ae; en d'autres termes, toutes les fois 
que la différence entre un carré et le produit d'un autre carré par le 
nombre donné sera partie aliquote du double produit des racines de 
ces carrés. 
Or ceci peut arriver de mille manieres différentes, mais a évidem- 
ment toujours lieu en particulier, si cette différence est r ou 2; car 1 
est partie aliquote de tout nombre entier, et 2 l'est du nombre 2ae. 
C'est ce qui arrive évidemment dans notre cas. Puisqu'en effet, sui- 
vant la condition exigée, nf? +1 = D^, la différence /? — nf* sera 1; 
si donc par cette différence on divise 2/l, le quotient sera le nombre 
entier afl, et ce sera par suite un nouveau nombre / satisfaisant à la 
condition. Et ainsi de suite indéfiniment. C. Q. F. D. 
Je crois superflu d’en dire plus long sur cette question, quoique 
j'aurais beaucoup de choses prêtes à ajouter; mais je crains déjà de 
m'être trop étendu.