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ŒUVRES DE FERMAT. 
[44, 45] 
SECONDE PROPOSITION. — Soient sur la droite AE (fg. 43) des points 
donnes en nombre quelconque, quatre par exemple, A, B, C, E, et 
un point Q en dehors de la droite AE; on cherche un cercle, comme 
MI, tel qu'en prenant sur ce cercle un point quelconque I, on ait 
AI? + BI? + CI? + EP + QP égal à une aire donnée. 
Abaissez sur la droite AE la perpendiculaire QR et prenez AD, frac- 
tion conditionnée de la somme AR + AB + AC + AE (le cinquième 
dans ce cas oü l'on donne cinq points). Élevez la perpendiculaire DO 
et abaissez sur elle la perpendiculaire QO. Prenez RF — DN, fraction 
conditionnée (ici le cinquième ) de la droite QR, et soit l’espace donné 
égal à la somme AD? + RD? + BD? + CD? + ED? ^- Z. 
Faisons Z= 4DN’ + ON?+ 5NM* (4 étant le nombre des points 
donnés sur la droite AE, et 5 le nombre total des points donnés). Je 
dis que le cercle décrit de N comme centre, avec NM comme rayon, 
satisfait à la question. 
En effet, prenez sur ce cercle un point quelconque I, joignez AI, 
BI, CI, El, QI. Menez VIX parallèle à AE et IY parallèle à OD; il 
est clair, d’après le corollaire de la proposition précédente, que 
4DP 4- OP =, car le point D joue le róle de quatre points; et puisque 
DN = 5 OD, il est évident que 4DI? + OI? = 4 DN? + ON? + 5NM?. Mais 
4DN? 4- ON? 3- 5NM? — Z par construction. Done. 4DP! -- OP — Z.