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ŒUVRES DE FERMAT.
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CF.FE — IF.FH; done IF.FH — BF.FN. Donc le point N est sur la sur-
face de la sphere IBH.
Il faut maintenant prouver que les sphères EGF, IBH sont tangentes
en N, ce qui est facile. Par le point F ct un point quelconque de la
sphère EGF, je mène FR qui rencontre la sphère IBH en M et en P,
et le plan AC en K. D’après le lemme précédent,
KF.FR — CF.FE — IF.FH (par construction) — PF.FM.
Mais si KF.FR = PF.FM, comme KF > FP (la sphère IBH étant tan-
gente en B au plan AC), FR< FM; done le point R est extérieur à la
sphere IBH. Il en sera de même pour tout autre point de la sphère EGF
dans un plan quelconque des deux côtés du point N. Donc les sphères
EGF, IBH sont tangentes en N.
Ces lemmes quoique faciles sont tres beaux, surtout III et V. Dans
elemme III, en effet, on a une infinité de sphères tangentes à la sphère
(M et passant par les points T, S, mais il est prouvé que toutes ces
spheres en nombre infini sont tangentes à la sphére YN. Dans le
lemme V, on a de même une infinite de spheres passant par les points }
et tangentes au plan AC, et toutes ces sphères en nombre infini
Ceci posé, il est facile de résoudre les autres problèmes
ProsLime VII.
Étant donnés deux points, un plan et une sphère, trouver une sphère
passant par les points donnés et tangente au plan donné et à la sphère
donnee.
Soient donnés le plan ABC ( fig. 62), la sphère DFE, et les points H,
M. Par le centre O de la sphère donnée, j'abaisse sur le plan donné
ABC la perpendiculaire EODB; je joins HE, et je pose BE.ED=HE.EG.
Le point G sera donné.
Étant donnés trois points H, G, M et un plan, on cherchera (pro-
blème IT) une sphère passant par les trois points donnés et tangente
au plan donné. Elle résoudra le problème.