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mit voller Stringenz schliessen, dass jede Integralcurve durch eine
Aehnlichkeits-Transformation, deren Mittelpunkt Origo ist
X! — & X, y' — ay,
insbesondere also durch eine infinitesimale solche
ôx = xôt, dy — yót
in eine neue Integralcurve iibergefithrt wird. Man verificirt die
Richtigkeit dieser Behauptung, indem man in (3) die Werthe
(X1, Y=£(1), EX Wy
einsetzt, und sich überzeugt, dass die betreffende Relation iden-
tisch stattfindet. Hiermit ist Folgendes bewiesen. Ist die Gleich-
ung Ydı — Xdy = 0 homogen, so ist EST ein Integrabilitátsfaktor.
Als zweites Beispiel betrachte ich die lineare Differential-
Gleichung
y
(4)
dy
oT Xy +X; =0.
Auch jetzt ist es leicht eine Punkt-Transformation, und zwar zu-
nächst eine endliche anzugeben, welche jede Integralcurve in eine
solche transformirt. Es sei nämlich z diejenige Funktion von x,
welche die reducirte Gleichung
dy 0
a + Xy=0
befriedigt, d. h. es sei
NE
Z-—e8e8
Ist dann y — y, irgend ein Integral von (4), so ist bekanntlich
auch y = y, 4- ez, wo c irgend eine Constante bezeichnet, ein neues
Integral. Dies lässt sich aber so aussprechen, dass die Punkt-
Transformation
NE
y=y+e=y+ce
- LX
jede Integralcurve in eine solche transformirt. Wählen wir ins-
besondere c infinitesimal, so erhalten wir eine infinitesimale Trans-
formation