$9'
Di
11
Ganz in entsprechender Weise liessen sich die Krümmungs-
linien oder Haupttangenten-Curven einer jeden Fláche bestimmen,
die eine beliebige lineare Transformation, welche den Kugel-Kreis
ungeändert lässt, gestattet.
b
WEN
Re.
Hier mag auch die Bemerkung ihren Platz finden, dass unsere
Theorie sich auf beliebige Berührungs-Transformationen ausdehnen
lässt. ” Gestattet nämlich die Gleichung
die infinitesimale Berührungs-Transformation
X=5(xyx‘)5öt, ày — (x y y) 8t, Sy (x y y) 8t,
so ist es selbstverstándlich, dass sie auch die infinitesimale Punkt-
dy —
ac IK
Transformation
x = E (x y f) 8t, 8y —» (x y f) 8t
zugiebt.
Vermöge dieser Bemerkung findet. man z. B. leicht, dass eine
Differential-Gleichung Ydx — Xdy — 0, deren Integralcurven Parallel-
curven sind, durch Division mit j/X? 4- Y? ein. vollstándiges Dif-
ferential wird.
S 3.
Geometrische Interpretation des Integrabilitätsfaktors.
Sei wie gewöhnlich 5x = &t, dy — môt eine infinitesimale Trans-
formation, welche Ydx — Xdy = 0 in sich überführt.
. Ich wáhle einen beliebigen Punkt x y, ziehe die Tangente zu
der hindurchgehenden Integraleurve, und setze auf derselben die
Länge V X? +Y?, gerechnet vom Punkte x y, ab. Die Projectionen
dieser Linie lángs der x- und y-Axe werden bez. X und Y. Ich
ziehe ferner die Gerade, nach welcher unser Punkt sich vermüge
der infinitesimalen Transformation bewegt, und setze auf derselben
die Linge J & + n° mit den Projectionen £ und «ab. Die beiden
besprochenen Geraden bestimmen ein Parallelogram, dessen Flä-