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Gr
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chen-Raum bekanntlich gleich Xy — Y&, d. h. gleich dem inversen
Integrabilitàtsfaktor ist. Zuweilen ist es noch bequemer anstatt
des Parallelograms die aequivalente Rectangel zu betrachten, deren
Seiten bez. V/ X? -- Y?und die Normal-Verschiebung AN sind. Also
. Salz 4. Der Integrabilitätsfaktor einer Gleichung Xdy:— Yda
— 0 ist gleich der Einheit, dividiri mit einer Rectangel, deren eine
Seite V X?+- Y? ist, während die andere mit der Normal-Distanz
im Punkte x y zwischen der hindurchgehenden Integralcurve und
emer benachbarten proportionel ist.
Sind z. B. die Integralcurven Parallelecurven, so ist die Nor-
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mal-Distanz constant, und der Integrabilitätsfaktor gleich / X?4-Y*.
I
Um eine Anwendung der gefundenen Interpretation zu geben
setze ich voraus, dass eine Differential-Gleichung
Ydx — Xdy — 0
vorgelegt ist, deren Integralcurven zusammen mit den orthogonalen
Trajectorien die xy-Ebene in infinitesimale Quadrate zerlegen.
Es ist also móglich die Ebene in der Weise mit consecutiven
Integralcurven und Trajectorien zu bedecken, dass für einen beliebig
gewählten Punkt die Normal-Distanz zweier benachbarten Integral-
curven ebenso gross wie die Normal-Distanz zwischen den beiden
benachbarten Trajectorien ist. Setzt man daher die Differential-
Gleichung der Trajectorien in der Form
Xdx + Ydy = 0,
so haben unsere beiden Differential-Gleichungen einen gemeinsamen
Integrabilitätsfaktor M, der sich leicht finden lässt. M genügt
nämlich den beiden Gleichungen
d(MX) dMY) . d(MY) d(MX) .
| dx + dy — 0, dx dy =0
oder
Vi
n
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E
u
dM dM ; (9X dY
XE YT =M(5%+%)
dM dM dY dX
yO xy (IX)