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Zur Theorie des Integrabilitätsfaktors. 
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Mein Freund Klein und ich haben, allgemein ausgesprochen, 
die Aufgabe gestellt, Eigenschaften eines vorgelegten Systems Dif- 
ferential-Gleichuugen, die a priori bekannt sind möglichst viel für 
die Integration derselben zu verwerthen. Schon längst hat man in 
besonderen Fällen derartige Fragen erledigt. :So weiss man z. B. 
diejenige Eigenschaft einer gewöhnlichen Differential-Gleichung, die 
darin besteht, dass sie homogen oder linear ist, auszunützen; man 
kann ferner die Krümmungslinien oder geodätischen Curven einer 
Cylinderfliche, Rotationsfliche oder Schraubenfliche bestimmen, 
während für andere Flüchen die betreffenden Differential-Gleichun- 
gen sich im Allgemeinen nicht behandeln lassen, u.s. w. Es fehlte 
aber in allen diesen particuliren Theorien ein allgemeines Princip. 
Klein und ich haben viele solche Betrachtungen unter einem Ge- 
sichtspunkte vereinigt, indem wir zeigten, dass die bekannten Eigen- 
schaften, die man verwerthet hatte, sich sehr haüfig darauf zurück- 
führen liessen, dass man gewisse infinitesimale Transformationen 
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kannte, welche sämmtliche Integrale der vorgelegten Differential- 
Gleichungen in ebensolche überführten.! Hier stellt sich mit Noth- 
wendigkeit folgendes Problem. 
Vorgelegt seien irgend. eine. Zahl Differential- Gleichungen, ge- 
wóhnliche, totale oder partielle (oder Pfaffsche Probleme) und man 
kenne mehrere infinitesimale Transformationen, welche sämmtliche 
' Schon früher habe ich angeführt, dass die Aufstellung der ersten Schwerpunkt- 
Integrale und der Flächen-Sätze in der Mechanik auf einen solchen Umstand 
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beruht. Darum dehnt sich diese Theorie auf einen nichteuclidischen Raum mit 
constantem Krümmungsmaase aus, 
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