24.
Integrale in eben solche‘ überführen; wie zieht man hieraus den
grösstmöglichen Vortheil für die Integration.
In der früher citirten Abhandlung betrachteten wir eine ge-
wöhnliche Differential-Gleichung 1. 0.
F(xyy)—0
mit einer bekannten infinitesimalen Punkt-Transformation, und zeigten,
dass es moglich war, eine aequivalente Gleichung
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ırück-
ionen
fxyy)=0
aufzustellen, die nur von der Transformation abhing; konnte man
f= 0 integriren, und das war sehr haüfig der Fall, so verlangte
die Integration von F = 0 nur Quadratur. Ich werde jetzt zeigen,
dass die Integration der Hiilf-Gleichung unnóthig ist; indem man
unter den gemachten Voraussetzungen immer einen Integrabilitáts-
faktor von F — 0 angeben kann. Umgekehrt kann man, wenn man
einen Integrabilitätsfaktor von F = 0 kennt, eine infinitesimale
Transformation finden, welche diese Differential-Gleichung in sich
selbst transformirt. Hiermit findet das von Klein und mir gestellte
Problem, beschränckt auf gewôhnliche Differential-Gleichungen 1. 0,
seine Erledigung. Gleichzeitig wird das Wesen des Integrabilitäts-
faktors aufgedeckt. '
Mit dem allgemeinen Probleme habe ich mich schon wiederholt
beschäftigt. Ich vorbereite eben zwei eingehende Arbeiten, unter
denen die eine vollständige Systeme Znearer partieller Differential-
Gleichungen, die anderé beliebige partielle Differential- Gleichungen
1. 0. behandeln wird.
ntial-
Noth-
8 1.
Infinitesimale Transformationen einer gewöhnlichen Differential-
^, ge-
man
tliche
punkt-
nstand
m mit
Gleichung I. 0.
Fasst man wie gewöhnlich x y als Punkt-Coordinaten einer
Ebene, x, y, y‘ als Bestimmungsstücke eines Linienelements auf,
so definirt eine Gleichung der Form
y +f&y)=0
zweifach unendlich viele Linienelemente, die sich bekanntlich zu
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