THEORIE DU P O TES TIED NEWTONIEN 
i\o 
extérieur. — Le problème intérieur de Dirichlet s’énonce ainsi : 
Soit un volume T limité par une surface S. Trouver une 
lonction Y clés trois variables x, y, z satisfaisant aux conditions 
suivantes : 
i° En tout point de T, elle est continue, ainsi cjue ses dérivées 
partielles des deux premiers ordres ; 
2° En tout point de T, elle satisfait à l’équation de Laplace : 
AV = 0; 
3° Sur la surface S, elle se réduit à une fonction donnée l dos 
coordonnées. 
On peut démontrer les deux théorèmes suivants : 
I. — Si le problème intérieur de Dirichlet comporte une 
solution, il n’en comporte qu’une. 
Supposons, en effet, pour un instant, qu’il en comporte deux ; 
soient V et Y' les deux fonctions ainsi obtenues. On a : 
Posons : 
AY = 0 dans T, AV 7 = 0 dans T, 
Y = U sur S, Y' = U sur S. 
Y — Y' = F. 
La fonction F satisfait aux conditions suivantes : 
AF = 0, dans T, 
F =0, sur S. 
Par conséquent, en vertu d’un théorème démontré au paragraphe 
précédent, on a partout, dans T, F =0 et, par suite, Y = Y' ; 
il ne peut donc pas exister deux solutions distinctes du problème 
énoncé. 
IL — Le problème comporte toujours une solution. Cet 
énoncé est connu sous le nom de principe de Dirichlet. 
Nous nous en occuperons dans un autre chapitre. 
Voici maintenant l’énoncé du problème extérieur de Dirichlet. 
On donne une surface fermée S et l’on considère l’espace 
extérieur à S, c’est-à-dire l’espace qui s’étend depuis cette sur