236 Prakt. Met. Sonderband 50 (20146)
in die F-R-Ebene des dreidimensionalen, kartesischen F-R-t-Koordinatensystems entspricht. Die resul- F.(t) =
tierende Kurvenschar hat eine Einhiillende oder Enveloppe F, = F,(R), d.h., eine zeitunabhingige Funk- mit
tion von R, die jedes Mitglied der Kurvenschar in genau einem Punkt beriihrt (blaue Kurve in Abb. 1a), Rn) -
wenn folgendes Paar von Gleichungen erfüllt ist: m
Y(F,,R,t) =0 1a) als Max:
und wendun;
a F(R, t)
ar PC, R,t)=0. (1b) Projekti«
Dabei ist W(F, R,t) = F, — F(R, t) eine Funktion der drei Variablen F,, R und t. Gleichung (la) zeigt, SE
dass jeder Punkt der Einhiillenden F,(R) = F (R, t(R)) auch ein Punkt auf einer der gegebenen Funkti- gend wi
onen der Kurvenschar F(R, t) vs. R mit ¢ als Parameter ist. Gleichzeitig folgt Gleichung (1b) aus der gröb eru
Eigenschaft, dass die Einhüllende eine gemeinsame Tangente mit der durch t = t(R) gegebenen Funk-
tion der Schar der Verteilungsfunktion F(R,t) vs. R hat [3,4]. Gleichung (1b) ist äquivalent zur Extre-
malforderung ZF (R,t) = 0, so dass ihre Losung in der Form geschrieben werden kann 3. Env
tm(R) = max F(R, t), (2)
wobei t,,(R) der Maximierer von F(R,t) bei konstantem R ist. Eliminiert man den Parameter t in re
F(R, t) mittels Gl. (2), so erhilt man als Gleichung fiir die Einhiillende der Kurvenschar F(R, t) vs. R
F,(R) = F(R, tn(R)). 3) F(R, t)
Dabei st
800 r —
0 1:t= 100 {A:R=6 lungsfur
2:t= 135 'B:R=8 . =
1 3:t= 200 C:R=10 N(t) =
600 [41 325 io R=12 oft die d
500 5:t= 600 ‘E:R=14 sowohl {
= massene
x 400 8]. Nich
ow u 8
300 frühen n
„ Im Skali
200 “ die Skal
100 J U) = |
% co } = ol 1 / / = ei = a.
0 . 10 15 20 0 200 E 400 600 800 Dabei is
a R b t kinetisc
Abbildung 1. Darstellung einer sich verandernden Verteilungsfunktion F(R, t) im a) GroBen-Bereich und b) Zeit-Bereich mit netik. T
der GroBe R bzw. Zeit t abwechselnd als Variable und Scharparameter. Nach dem Enveloppen-Theorem korrespondiert die 3 flä
Einhüllende in a) (blaue Linie) mit der Kurve durch die Maxima in b) (gestrichelte blaue Linie) und die Kurve durch die grenzl\e:
Maxima in a) (gestrichelte rote Linie) korrespondiert mit der Einhiillenden in b) (rote Linie). Aus den
(7), dass
Betrachten wir im Gegensatz dazu die Kurvenschar F(R, t) vs. t, wobei nun R der Scharparameter und F(R) =
t die Variable ist (Abb. 1b), so entspricht dies der Projektion von F(R, t) in die F-t-Ebene. Die Envelo- ©
ppe F(t) folgt aus zu (1) analogen Gleichungen, wobei (1b) durch ZW(F, R,t) = 0 zu ersetzen ist:
{
