Prakt. Met. Sonderband 50 (2016) 237
pricht. Die resul- ED) = F(R,,,(D,D) 4)
1abhéngige Funk- mit
urve in Abb. 1a). Rm(t) = max F(R, t) (5)
(la) als Maximierer von F(R,t) vs. R. Aus Gl. (1)-(5) kann das Enveloppen-Theorem in der aktuellen An-
wendung wie folgt zusammengefasst werden: Die Enveloppe der Schar von Verteilungsfunktionen
F(R,t) vs. R repräsentiert die Maxima der Schar F(R,t) vs. t, während gleichzeitig die Enveloppe der
(1b) Projektion F(R, t) vs. t die Maxima der Funktionenschar F(R, t) vs. R reprisentiert (Abbildung 1). Dies
chung (1a) zeigt bedeutet zugleich auch, dass die Existenz einer Einhiillenden in der Darstellung F(R, t) vs. R die Exis-
aah 5 F 4%} tenz von Maxima in der komplementiren Darstellung F(R, t) vs. t voraussetzt und umgekehrt. Nachfol-
Pp oonen tome gend wird gezeigt wie diese Dualitdtseigenschaft der Verteilungsfunktion zur Beschreibung der Ver-
ung (1b) aus der = oa
groberungskinetik verwendet werden kann.
gegebenen Funk-
valent zur Extre-
n . wa Ts 4
3. Enveloppen-Analyse bei selbstihnlicher Vergroberung
(2)
1 Parameter € in Fiir den Fall selbstdhnlicher Vergroberung, wie man sie bei Ostwaldreifung und Kornwachstum antrifft.
r F(R,t) vs. R kann die Schar von Verteilungsfunktionen (siehe Abbildung 1) wie folgt beschrieben werden:
’ ; A ,(R\ _ NID
3) F(R,t) = =f (%) = 771 )- (6)
Dabei stellt w= = = eine nur zeitabhängige Funktion dar, während f(x) = f (35) die skalierte Vertei-
IAR=6 7 lungsfunktion ist, die lediglich von der relativen Größe x = £ abhängt [1,2,5-8]. Insbesondere beschreibt
3 R > To ; N(t) = = die Gesamtzahl der betrachteten Partikel oder Körner. Als typische Skalierungslänge I wird
D:R=12 oft die direkt messbare mittlere Partikel- oder Korngré3e verwendet. Der Skalierungsexponent a kann
E:R=14 | sowohl ganzzahlige als auch nicht-ganzzahlige Werte annehmen. Ersteres ist der Fall bei volumen- oder
massenerhaltender Vergröberung, wo @ =D +1 und D die Euklidische Dimension des Systems ist [6-
8]. Nicht-ganzzahlige Werte fiir a kénnen zum Beispiel fiir die Vergröberung fraktaler Systeme und im
frithen nicht-selbstdhnlichen Zustand beim Kornwachstum [9] gefunden werden.
Im Skalierungsregime selbstihnlicher Vergroberung wie es durch Gleichung (6) beschrieben wird, folgt
die Skalierungsldnge | = I(t) dem Zeitgesetz
B B
= VB t
I(t) = (kt +1 ) = (3 +1) : 7)
600 800 Dabei ist 7 = i’ /k die charakteristische Zeitkonstante des beobachteten Vergroberungsprozesses. Die
: a kinetische Konstante k und der Wachstumsexponent ß beschreiben die Dynamik der Vergröberungski-
b) Zeit-Bereich mit netik. Typischerweise gilt ß = 1/3 für diffusionskontrollierte Ostwaldreifung [1,8] und ß = 1/2 für
n korrespondiert die = . . 3 .
{ie Kurve durch die grenzflächenkontrollierte Ostwaldreifung und krümmungsgetriebenes Kornwachstum [2,5,8].
Aus den Gleichungen (1) bzw. (2) und (3) folgt für das Skalierungsregime beschrieben durch Gl. (6) und
(7), dass die Einhüllende der Familie der Verteilungsfunktionen F(R,t) vs. R durch
arparameter und E(R) = Axg f (xe) |
ene. Die Envelo- RE
u ersetzen ist:
(«
(>
