238 Prakt. Met. Sonderband 50 (2016) 
gegeben ist mit x, als der Lösung von af (x) + x = 0 [3,4]. Laut Gl. (2) und (3) beschreibt (8) Die Ar 
zugleich auch die Lage der Maxima im Zeit-Bereich durch F(t) = F,(R) mit R = x,I(t). Ahnlich Ngs(R 
ergibt sich die Einhüllende im Zeit-Bereich als ‘st in A 
is \ 
Af(Xm) _ Af(xm) 
Ft) = = = (9) men ar 
. . Af (x) . . : verteilt 
wobei x, die Lösung von = 0 ist und wir den neuen Exponenten 6 = aß eingeführt haben [3,4]. gegebe 
Die Potenzgesetze der Enveloppen in Gl. (8) und (9) legen nahe, dass man die Vergroberungsexponenten chung. 
«x und ß aus doppeltlogarithmischen Darstellungen der beiden Projektionen der Verteilungsfunktionen E 
ablesen kann, wobei die Einhüllenden dann Geraden mit negativem Anstieg sind. Nes(R 
Da beide Einhiillenden die F-R-Ebene und die F-t-Ebene in einen Bereich, in dem sich alle Datenpunkte ist num 
befinden, und einen leeren Bereich aufteilen, können die Skalierungsexponenten aus einer ausschlieBli- von « - 
chen Betrachtung der Rénder der Datenfelder bestimmt werden. Dies ist in Abbildung 2 fiir die Vertei- 
lungsfunktionen von normalem Kornwachstum—gewonnen aus groBen Potts Modell Simulationen— 20 
demonstriert. Details beziiglich des Simulationsalgorithmus, der resultierenden Daten und weiterer Ap- 
plikationen kénnen in Ref. [6,10] gefunden werden. 
. 2 : * eS —————————— - 
. = In(R (1) =-2.093 In(t+7) + 18.216 
5 109 - IR (t)) = -2.0045 In(t+7) + 17.038 N 
, 0 = 98.9078 Fn 
ot 
32 3 v3 © 
. 0 > I 5 
el a 
ZU © v 95 4 Lb u 4 
£ ı Aa sa = 
1 r © : > > o 2 
0 v x 
: 5 0 F a 
> > In(F(R1) =-3.9799 In(R) + exp17.192)} - Abbildus 
2 es 2 ee nn lo und b) a 
05 1.15 2. 25 3 35 4 45 45 5 55 6 65 7 iB. 8 kleinen | 
a In(R) b In(t+7) 
Abbildung 2. Numerische Bestimmung der Einhiillenden der Verteilungsfunktion F(R, t): a) doppeltlogarithmische Darstel- D 16 kor 
lung im Größen-Bereich mit linearem Fit der Daten am Rand des Datenfeldes (blaue Linie) und b) analoge Darstellung im hüllend 
Zeit-Bereich inklusive der Einhüllenden (rote Linie) und der Maxima (blau gestrichelte Linie). bereich 
lich. N: 
Der Rand des Datenfeldes in der doppeltlogarithmischen Darstellung in Abbildung 2a zeigt die Einhül- Nm (€ 
lende als Gerade, deren Anstieg für den Skalierungsexponenten & in Gleichung (8) einen numerischen m> 
Wert von a = 3.9799 aufweist. Dies bestätigt mit hoher Genauigkeit die analytische Beziehung a = wobei 
D + 1 = 4 für dreidimensionale volumenerhaltende Vergröberung. Abbildung 2b zeigt den gleichen Da- RF(R, 
tensatz in doppeltlogarithmischer Darstellung im Zeit-Bereich F(R, t) vs. t. Die zugehorige Einhiillende Maxim 
ist laut Gleichung (9) ebenfalls eine Gerade allerdings mit dem numerischen Anstieg 6 = aff = 2.093, dic Ein 
der nahe am theoretischen Wert § = 2 liegt, und der Zeitkonstanten 7 = 98.9078. Zusitzlich ist in Abb. spricht 
2b auch die Gerade durch die Maxima E,, (t) gegeben.