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I, 5. Bringsche Gleichung fünften Grades. 
§ 12. Beziehung der Bring sehen Gleichung zur Resolvente 
fünften Grades der Ikosaedergleichung. 
Um die Beziehung der Bring sehen Gleichung zur Resolvente fünften 
Grades der Ikosaedergleichung festzustellen, knüpfen wir an die Glei 
chung (5) S. 115 an und verstehen unter ö die daseihst für den DB der 
Fig. 15 erklärte einwertige Funktion. Die zugehörige Gruppe (S( 5 ) werde 
vermöge der Transformation co = £ auf co nmgeschridben. Sie ist 
alsdann kommensurabel mit der Modulgruppe, und zwar ist der Durch 
schnitt ein Teiler ®[io) des Index 10 der der als Teiler des Index 2 
in der @( 5 ) enthalten ist. Der DB dieser Gruppe ist in Fig. 18 dar 
gestellt, die man von Fig. 15 S. 114 aus leicht verstehen wird. Die 
Randkurven dieses DB hängen durch die in (2) S. 118 gegebenen Sub- 
Fig. 18. 
stitutionen T,, T 2 , T 3 , 1\ und die etwa T b zu nennende Substitution 
r = e + ßV 2- zusammen. Die drei in Fig. 18 angegebenen Substitu 
tionen, die die unteren Randkurven ineinander überführen, sind dann 
einfach: 
(1) V x — T, • T v v, = t 3 - T lt v 3 = T i ■ . T v 
Auf co umgerechnet liefern sie die Substitutionen: 
(2) 
r,= 
r 3 = 
5, 24\ 
1, 5 )’ 
zu denen daun noch für die beiden Geraden des DB die auf co um 
geschriebene Substitution T b = tritt. Alle vier Substitutionen 
sind in der Modulgruppe enthalten, so daß wir hier in der Tat den 
Durchschnitt der © (5 ) mit der Modulgruppe @G) vor uns haben. 
Die Zuordnung der Randkurven zeigt unmittelbar, daß der DB der 
Fig. 18 durch 6 auf eine zweihlätterige Fläche des G-esclüechts p = 1 
über der P-Ebene abgebildet wird. Man erkennt auch sofort, daß die 
vier Yerzweigungspunkte dieser Fläche von den drei Polen der Substitu 
tionen , T 2 , T 3 und den beiden bezüglich der ©( 5 ) äquivalenten Ecken 
o = + 5 -f- i herrühren. Zufolge (5) S. 115 liegen sie also in den drei 
Nullpunkten der ganzen Funktion (ö 3 -(- 3 ö 2 -f- 8 ö 16) und bei ö = 5. 
Auf Grund bekannter Sätze notieren wir sogleich das Ergebnis: Zur