34 §. 7. 2. Kurve des schnellsten Falls (Brachistochrone). 
also 
1 7o , № 
b 2 = rj -f- c, c — —- 
2 g 2g 
1 y' 
©’ + ®'= »*&-*) + »•! 
(Ü) , [ 1 + (iy]= 2 ^-’' ) ,+ 6 ^= №,(*-,) + * ■ 
wo wir die Wurzel nur positiv nehmen, da wir t und x zugleich 
wachsend denken. 
Ist also x 2 die Endabszisse, x die Dauer des Falls, so hat man 
* = J Vl -\- y'*dx 
, x 2 i> x I 
( c ) 
xi Vzg{y — n) + & 
welche Grösse nun ein Minimum werden soll. 
Dabei ist der Fall des §. 6, III. eingetreten, da rj der (untere) 
Grenzwerth von y ist. Hier hat man (§. 6, I.) 
Vl + y' 2 
f 
V2 g{y — Tq) + b 2 
. df _ \/ 1 + y' 
J J dll' V 2g (y — v) 
dy' 
so dass (§. 3, VII.) 
9{y — V) + b2 Vl +y' 2 V2g {y~rj) + b 2 
ci = Vi + y' 2 V%g{y — v) -f V--, 
zg{y — g) + v 
— i 
y 
,/ _j_Vcf — 2g{y — rj) — b 2 äx_ A _\/ 2g(y~rj) + b 2 
y y 2g (y — rj)+ ’ (J y — V cf—[2g(y—rj)+b 2 ] 
.(d) 
wo nun (da x immer wächst) das obere Zeichen gilt, so lange y 
wächst, das untere, wenn y ahnimmt. Da 2 g (y — r[) -|- b 2 wesent 
lich positiv war, nämlich = (jVf) ’ S ° ^ ann e i n Wechsel 
dann eintreten, wenn der Nenner durch Null geht. Dieser Wechsel 
tritt also nur ein, wenn 
2 9 (y — V) 4" ö 2 = (e) 
ist. Um (d) zu integriren, setzen wir 
2g(y — v) 4- ö 2 = |c x 2 (l — COS a) (f) 
was zulässig ist, da immer 2 g (y — rj) b 2 <; C{ sein muss. 
Diese Grösse wird c 2 , wenn cos co — — 1, also co = 7t, so dass der 
Zeichenwechsel in (d) für co = 7t stattfindet. Da anfänglich y—rj, 
also 2 g {y — rj) -f- b 2 = b 2 , so ist dann |c, 2 (l — cos co) — b 2 , was