34 I. Abschnitt. Zweites Capitel. Die Ebene und die lineare Gleichung. 
A B C -,/ A 2 -f £ 2 + C' 2 (] ] 
• A'~~ B' ~ C' ~~ Y A' * + B' z + C' 2 ‘ 1 
Da nun die letzte Gleichheit eine Consequenz der beiden vorher 
gehenden Gleichungen ist, so kann man die Bedingung für die 
Parallelität der beiden Ebenen durch folgenden Satz ausdrücken: 
Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Gleichungen 
sich dergestalt transformieren lassen, dafs sie sich blos 
in ihrem letzten, freien Gliede unterscheiden. Und um 
gekehrt. 
Dasselbe Resultat erhält man durch Benutzung der Gleichung 
der unendlich fernen Ebene. Denn da parallele Ebenen sich in der 
unendlich fernen Ebene schneiden, so mufs nach dem Vorhergehen 
den (§ 10) die linke Seite der einen mittelst constanter Eactoreu aus 
der linken Seite der andern und der unendlich fernen Ebene sich 
zusammensetzen lassen. Ist etwa 
E — Ax -f- By -{- Gz -(- B — 0 
die Gleichung der einen Ebene, so hat, da 
O-iC-j-O'i/-j-O-0-j-d = O 
die Gleichung der unendlich fernen Ebene ist, die Gleichung einer 
zu ihr parallelen Ebene die Form 
F+k(0^ + 0- i/-f 0^ + ö’) = 0, 
wo A eine willkürliche constante Gröfse bedeutet. A • d und daher 
auch D -f- A • ö ist hierin eine willkürliche Gröfse; bezeichnet man 
dieselbe kurz mit L, so ergiebt sich als die Form der Gleichung der 
parallelen Ebene 
Ax -f- By -f- Cs -f- L = 0, 
in Uebereinstiramung mit unserer früheren Behauptung. 
2) Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen 
Punct geht und zu einer gegebenen Ebene parallel ist. 
Es seien x l} y l , z, die Coordinaten des gegebenen Punctes und 
Ax -{- By -j- Gz -f- B = 0 
die Gleichung der gegebenen Ebene. 
Die parallele Ebene hat dann nach dem Voranstehenden die Form 
Ax -j- By Gz + L = 0, 
wo die unbestimmte Gröfse L der Bedingung gemäfs bestimmt werden 
mufs, dafs die Ebene durch den Punkt x i} y t , gehe. Diese Be 
dingung liefert zur Berechnung des L die Gleichung 
Ax, + By, Gz, -f- L — 0, 
somit ist A(x — x,) -j- B (y — y,) -j- C {z — z t ) = 0 
die Gleichung der gesuchten Ebene. 
(2.)