Elemente der geometrischen Optik. 39 
Wie man leicht sieht, ist das reciproke Aequivalent eines Systems 
das Maass seiner optischen Arbeit für parallel einfallendes Licht. Dies 
Maass’ ist also gegeben durch die Entfernung des Punktes E zum 
entsprechenden letzten Bilde und die X, zu dem ihm zugehörigen 
Bilde. 
Diese Punkte £ und Z, sind nun identisch mit den Gauss- 
schen Cardinalpunkten; im Fall das erste und letzte Mittel 
verschieden sind jedoch mit den Knotenpunkten des Prof. Listing. 
Wie Sachkenner sehen werden, ist dieses Resultat hier auf einem ganz 
andern Wege gefunden, wie Gauss es gefunden hat, und haben daher 
auch die Endformeln eine von den Gaussischen ganz verschiedene 
Form. Man wird im Laufe der Entwickelung nun sehen, warum 
diese Formen für den vorliegenden Zweck geeigneter sind wie die 
Gaussischen, wenn man nämlich die Beschränkung, welche bei Gauss 
und auch bis zu diesem Punkte hier stattfindet (dass man sich auf 
' unendlich kleine Oeffnungen und unendlich wenig zur Axe geneigte 
/ Strahlenbündel beschränkt), aufhebt; so werden wir sehen, dass diese 
| Form die einfachste Weiterentwickelung giebt. Wie man aus dem 
Vorhergehenden ersieht, sind diese Formeln, so lange man sich auf 
centrirte sphärische Flächen beschränkt, allgemeingültig und kann 
N man alle Fälle, welche vorkommen können, durch entsprechende Sub- 
) stitution daraus ableiten; zumal da bei diesen Formeln, ausser obiger 
) Beschränkung nichts als zu klein vernachlässigt ist! Wie man ferner 
. sieht, erhält man durch die Grössen !f, = b, = = bi... 
) und in: der zweiten Lage des Systems WW, = bb", WR = bh 
1% = b*, ... ohne weitere Rechnung die Lage sämmtlicher Bilder 
des Linsensystems, ohne dass man nöthig hat, wie bei Gaussformeln 
mühsam von Linse zu Linse fortzuschreiten, um immer neue Systeme 
mit neuen Cardinalpunkten zu. bilden, bis man endlich an die letzten 
Grössen angelangt ist! Selbst wenn man den Eulerschen Algorithmus 
| bildet, ist die Rechnung noch sehr weitläufig (weil eben vielmehr be- 
rechnet wird wie nöthig ist). Ausserdem erhält man nicht direct 
die Lage der obigen Bilder, von welchen es kaum hbekannt zu sein 
* scheint, dass, wie wir später sehen werden, der ganze Aplanatismus 
der Linsensysteme in und ausser der Axe sowohl für die Strahlen im 
Hauptschnitt als auch für die windschiefen Strahlen in verhältniss- 
) möässig einfachen Zusammenhang steht. (Zumal wenn man den hier 
sonst nicht gebräuchlichen Begriff der optischen Arbeit in er- 
weiterter Form zur Anwendung bringt). 
Bevor wir jedoch dazu übergehen, wollen wir von den unendlich 
vielen Anwendungen, welche diese Formeln darbieten, eine Anzahl 
allgemein nützlicher herausgreifen und weiter ausführen. An diesen