VI. Analytische Geometrie.
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von dieser Geraden aus und alls Kreise nach derselben Seite hin Bo-
yen von der Länge a ab, so ist der geometrische Ort der Endpunkte
sine hyperbolische Spirale. Ihre Gleichung ist
2 I
2? eines
d Länge
diesem
a gleich
sens AEZ.,.
‚eninhalt
einem
rw,
:en ACC
wenn
gleich-
einen
ı Punkt
Jls mit
ıt. fort-
sich um
;em ein
den ist.
der Ra-
drehung
usvector
ohnet,
ate C T,
ıngente:
"2us er-
18 vom
.zt man
TO = a.
Der Pol ist ein asymptotischer Punkt, um den die Spirale unend-
lich viele Windungen macht, ohne ibn im Endlichen zu erreichen.
2. Es ist
a cos a sin
= rs p=" IP, Yy = r sin p=P;
P P
ist also stets kleiner als a und für vy == 0 wird y==a, = % , =,
Die Gerade y==a ist eine Asymptote der Curve.
3. Es ist die Polarsubtangente von constanter Gröfse = — a, die
7?
Polarsubnormale ist gleich — — +
a
4. Der Inhalt der vom Radius r beginnenden und bis zum Pol
gehenden, sich zum Theil deckenden Flächenräume ist gleich }ar oder
zleich dem vom Radiusvector, der Tangente und Polarsubtangente ge-
bildeten Dreieck.
1, Logarithmische Spirale.
1. Die logarithmische Spirale ist eine Curve, bei welcher der
Radiusvector mit der betreffenden Tangente einen constanten Winkel
„ildet.
2. Gleichung: r = €"? (Fig. 19). Für g==0 ist r==1=04.
Hieraus ergiebt sich eine Construction der Curve, wenn ihr Pol und
2 ihrer Punkte bestimmt sind.
Fig. 19
8. Die Tangente CT in einem
beliebigen Punkte € bildet mit 0C
einen constanten Winkel a, so dafs
cotg a==m. (Vergl. 1.)
4. Zieht man ON & 0C, CN
„CT, so ist die Polarsubnormale
ÜON= r cotg a==rm, die Polar-
normale
CN=rV1+m? —
sin a
gleich dem Krümmungsradius op im
Punkte €.
5. Die Kvolute der Curve ist eine der gegebenen congruente Spi-
m 1 . .
ale, welche um den Winkel 7 gegen die ursprüngliche ge-
Äreht ist.
6. Krümmungsradius o== r Yı + m?,