DE QUELQUES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES DU CINQUIÈME DEGRÉ. 25 
eurs équations 
lorsqu’on y égale les parties rationnelles et les coefficients de Va; je dis de plus 
quelques équa- 
kjuations trai- 
le quadratique 
ssance, admet 
i qu’une seule 
n réfléchissant 
simplement en 
ans l’équation, 
sque ces cou 
le quadratique 
; seule, qui est 
à une équation 
lisibilité d’une 
3. Le premier 
ux cinquièmes 
e puissance et 
ttrib uant à ce 
ons, on peut 
néralité de nos 
3s du troisième 
squ’à présent, 
que les nombres de te ainsi obtenus seront premiers entre eux*).“ 
Il est évident, par l’équation (2), que si les nombres d et e avaient un 
diviseur commun, ce ne pourrait être que le nombre Z ou une puissance de ce 
nombre. Il suffira donc de faire voir que d n’est pas divisible par Z. La for 
mule (3) donne cette valeur de d: 
, s n , n(n — 1) «n—2 2 , n(n—1)0— 2)0— 3) 2*n-4 4 , 
d = ô ^ 9 ad s H - 1 ' 2 3 4 ~° J ” £ + etc - 
D’un autre côté, on conclut de l’équation (1), en se servant du signe employé 
par M. Gauss: 
ô 2 = asê 4 = a" « 4 , ô 6 EEE a 's 6 , . . . (mod. 1). 
et en multipliant respectivement par J 1 ” -2 , d” -4 , . . .: 
ô n = aâ n ~ 2 e 2 , ô n = a 2 (f~ 4 s 4 , ... (mod. Z). 
En combinant ces congruences avec l’équation qui donne d, on aura: 
d=f{i+ + ”0—1)0— 2 X M —3) + etc ) > 
ou, ce qui est la même chose, la quantité entre les crochets étant le déve 
loppement de i[(l-hl)”H-(l — 1)"] et par conséquent égale à 2” _1 : 
d = 2 n_1 <T (mod. 1). 
Il est maintenant facile de voir que d n’est pas divisible par l, car il faudrait 
pour cela que â fût divisible par l; mais la seule inspection de l’équation (1) 
montre que cela est impossible, d' et s étant évidemment premiers entre eux 
et a non divisible par l. 
Dre a et sup- 
Théorème IL 
„La lettre l désignant un nombre premier impair non-diviseur de a, si 
l’on suppose que l’on ait: 
(4) d 2 —ae = l n , 
(5) d' 2 —ae' 2 = Z", 
les nombres d et e, d' et d étant premiers entre eux, je dis que l’on pourra 
*) Si le nombre l, au lieu d’être premier, était un nombre impair quelconque et que les nombres 
â et as fussent premiers entre eux, les nombres d et ne seraient également premiers entre eux, comme 
il est facile de s’en assurer par un raisonnement parfaitement semblable à celui dont nous faisons usage 
dans le texte. 
G. Lejeune Dirichlet’s Werke. 4 
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