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& 51. Das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten. 391 
schwindigkeiten“ in seiner Allgemeinheit zum Ausdruck ge- 
oracht. 
Zum Beweise desselben denken wir uns zunächst nur einen 
ainzigen Punkt des Systems verschoben, alle übrigen Punkte da- 
yegen in ihrer ursprünglichen Lage bleibend. Da nun auch bei 
dieser virtuellen Bewegung des Systems der Voraussetzung nach 
die Arbeitssumme aller Kräfte ==0 ist und die in Ruhe geblie- 
jenen Punkte für sich eine Arbeitssumme ==0 liefern, so muss 
die virtuelle Arbeit der am verschobenen Punkte wirkenden Kräfte 
=0, der Punkt also im Gleichgewicht sein. In gleicher Weise 
ergiebt sich auch das Gleichgewicht der übrigen Punkte und da- 
nit das Gleichgewicht des ganzen Systems. 
Analytisch kann das Prineip der virtuellen Geschwindigkeit, 
wie folgt, ausgedrückt werden: 
Ist P eine der Kräfte, welche am materiellen System thätig 
sind, ds die virtuelle Verschiebung des von der Kraft P ange- 
zriffenen materiellen Punktes des Systems, so ist die virtuelle 
Arbeit von P, wenn X, Y, Z die Komponenten von P nach der 
den Koordinatenachsen und dx, dy, dz die Projektionen von ds auf 
diese Achsen sind, ausgedrückt durch , 
X.dx + Y.ıdy + Z-.dz. 
Da aber das materielle System im Gleichgewicht ist, wenn die 
Summe der virtuellen Arbeiten aller am System thätigen Kräfte 
sich gleich Null herausstellt, so hat man als Gleichgewichts- 
gedingung für das System und als analytischen Ausdruck des 
Prineips der virtuellen Geschwindigkeiten 
S3(X.dx + Y-.dy + Z.dz) = 0. 
284. Beschränkt bewegliche materielle Systeme. Darunter 
verstehen wir solche Systeme, bei welchen die einzelnen mate- 
riellen Punkte sich nicht ganz beliebig bewegen können, vielmehr 
bezüglich ihrer Bewegung gewissen Einschränkungen, gewissen 
Bedingungen unterworfen sind. So kann verlangt sein, dass 
die einzelnen materiellen Punkte in unveränderlichen Abständen 
von einander bleiben, also ein unveränderliches oder starres 
materielles System bilden sollen, und dass zugleich das System 
ainen festen Punkt oder zwei feste Punkte besitze, oder auch, 
lass einzelne Punkte des Systems auf vorgeschriebenen Linien 
der bestimmten Flächen bleiben sollen u. s. f. 
Bei einem solchen unfreien materiellen System bezeichnen die 
mit den gestellten Bedingungen verträglichen virtuellen 
Verschiebungen der materiellen Punkte des Systems zugleich die