8 56. Die Berechnung der Trägheitsmomente. 419
Um diesen Satz zu beweisen, wollen wir (Fig. 266) zwei
KXoordinatensysteme mit parallelen Achsen annehmen, das eine
mit dem Ursprung O0, das an-
Jere mit dem Ursprung 0’. Die
Koordinaten eines Massenelemen-
tes dm in Beziehung auf das
erstere Koordinatensystem seien
X, Y, Z, diejenigen in Beziehung
auf das zweite System x’, y', 7,
und a, b, c die Koordinaten des
Irsprungs O0 in Beziehung auf *%/’
das Koordinatensystem U.
Man hat nun
m?
Y,= Zdm(x'? + y'?)= Zdm(x + a)? + Z dm (y + b)*
= Ydm-x?-La*.Zdm-+ 2a: Z dm: x +
+ dm y? + 6.Zdm-+2b-Zdm-y
— Ydm- x? + Zdm- y? + (a*-+b)m + 2a.Zdm:- x + 2b Zdm-y
= dm +y + e&.m +20: Zdm x+2b-Zdm-y
-6,+m- ee + 2a-mxg + 2b-Myg,
wobei x und yg die Entfernungen des Schwerpunktes der Ge-
sammtmasse m des gegebenen Körpers von der yz Ebene be-
ziehungsweise der xz-Ebene des Koordinatensystems 0. Im Falle
die z- Achse durch diesen Schwerpunkt hindurchginge, wäre z4==0
and ya=0 und damit
)
9. zz 6, + me?.
Es ist also der angegebene Satz bewiesen.
306. Rechtwinkliges Parallelepiped. Die Kantenlängen seien
a, b, c. Um das Trägheitsmoment ©, des Parallelepipeds in Be-
ziehung auf seine der Kante c parallele Schwerpunktsachse zu
erhalten. setzen wir wieder
dO,=— 0, -dx-ö,
WOraus = 6, dx ö= 64 6Zdx=—= O,ö:0 .
nn 1 g 1 5) = 2000 a aM
= 5 al7z0b +75b6 =— (c +5) = 75 d?*.
ınter d die Länge der Diagonale des Rechtecks cb verstanden.
307. Kreiscylinder. Wir wollen die Cylinderachse als die
x-Achse des Koordinatensystems annehmen und den Ursprung des
letzteren in der Mitte der Cylinderachse. Damit erhält man,
wenn r der Halbmesser und } die Länge des Cylinders:
97*