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Die Schwerkraft und die Lehre vom Schwerpunkt. 
42, Fall einer Symmetralebene. Besitzt ein Gebilde m eine 
Symmetralebene, so befindet sich in ihr auch der Schwerpunkt 
les Gebildes. 
Zum Beweis nehmen wir die Symmetralebene als eine Koordi- 
natenebene, z. B. als yz-Ebene an und beachten, dass in diesem 
Fall jedem Element dm, von der Absecisse -|-x ein Element dm, 
von der Abseisse —x entspricht, dass also 
Zdm.x= 0 und demgemäss m.xg= 0: x =0. 
43. Fall eines Mittelpunktes. Hat ein Gebilde einen Mittel- 
punkt, so fällt in diesen der Schwerpunkt des Gebildes. 
Im Begriffe des Mittelpunktes liegt es, dass, wenn man ein 
Element dm, des Gebildes mit dem Mittelpunkt verbindet und die 
Verbindungslinie über den Mittelpunkt hinaus um sich selbst ver 
‚ängert, der Endpunkt dieser Geraden wieder mit einem Element dm, 
zusammentrifft, so dass das ganze Gebilde als zusammengesetzt 
angesehen werden kann aus paarweise auftretenden, einander ent- 
sprechenden Elementen. Legt man nun durch den Mittelpunkt eine 
oeliebige Ebene, welche man wieder als yz-Ebene eines rechtwink- 
ligen Koordinatensystems ansehen mag, und bezieht auf diese das 
Moment des Gebildes, so wird für diese Grundebene 
Zdm.x = Z(dm, .x, — dm x) + =0, also mxg==0; = 0, 
d. h. es liegt der Schwerpunkt des Gebildes in dieser beliebigen, 
lurch den Mittelpunkt gehenden Ebene. Wenn aber der Schwer- 
punkt in jeder durch den Mittelpunkt gelegten Ebene sich be- 
änden muss, so kann. er nur in diesem Mittelpunkt liegen. 
44. Schwerpunkte von ebenen Gebilden. Der Schwerpunkt 
aines ebenen Gebildes liegt stets in der Ebene des Gebildes, 
Wählt man nämlich die Ebene des Gebildes als Grundebene, so 
ist das Moment dm.x eines jeden Elementes dm des Gebildes in 
Beziehung auf diese Grundebene gleich Null, woraus folgt . 
Zdm.z= 0; mxeg==0: = 0 
45. Polygonaler Zug. Um beispielsweise den Schwerpunkt 
des aus den drei Strecken a,,4,,4, bestehenden polygonalen Zuges 
Fig. 25) zu bestimmen, nehmen wir ein rechtwinkliges Koordi- 
gatensystem an, in Beziehung auf welches die Koordinaten der in 
den Mittelpunkten der Strecken a, a„4, liegenden Schwerpunkte der 
Theile a,a„,a, des polygonalen Zuges mit X,Yı%1> XaYalar Kaya 
und die gesuchten Koordinaten des Schwerpunktes des polygonalen 
Zuges mit XgYoZo bezeichnet seien. Damit liefern die Momenten- 
yleichungen: