(54 IV. Abschnitt: Das achtzehnte Jahrhundert.
drei Kanten, die an einer Ecke zusammenstoßen, und den von ihnen ein-
geschlossenen Winkeln. Wie fundamental die Bedeutung Eulers für die ge-
samte moderne Mathematik ist, zeigt endlich die Tatsache, daß er auch der
Schöpfer des Funktionsbegriffs ist, die Bezeichnung f(x) für eine Funktion
eingeführt und die Grundlagen der Funktionenlehre entwickelt hat.
Von anderen für die jetzige Elementarmathematik der höheren Schulen
wichtig gewordenen Errungenschaften dieses Zeitraums, die sich nicht
auf Euler zurückführen lassen, seien hier noch folgende erwähnt: im Rechnen
werden die Bezeichnungen Milliarde, Billion, Trillion allgemein gebräuch-
lich; die Regeldetri wird mehr und mehr als Proportion aufgefaßt, und die
alte Rees’sche Regel wird durch die Basedowsche verdrängt, mit welcher
der Übergang zu unserm heutigen Bruchsatz beginnt. Lambert (1725—1777)
behandelt und untersucht zuerst periodische Dezimalbrüche und weist
nach, daß alle periodischen Dezimalbrüche aus rationalen Brüchen ent-
stehen und keine irrationale Größe durch einen periodischen Dezimal-
bruch dargestellt werden kann. Demselben Mitgliede der Berliner Akade-
mie verdanken wir den ersten einwandfreien Beweis der Irrationalität
von x und e. Hinsichtlich der Eigenschaften der Zahl x ist noch erwähnens-
wert, daß die Pariser Akademie 1775 erklärte, keine Einsendungen mehr
anzunehmen, die die Lösung des Problems der Quadratur des Zirkels zu
geben verheißen; in derselben Erklärung lehnt sie auch die Arbeiten ab,
die mit Hilfe von Zirkel und Lineal die Probleme der Dreiteilung des
Winkels und der Verdoppelung des Würfels lösen wollen. Diese Erklärung
der Pariser Akademie bildet einen wichtigen Markstein in der Entwick-
lung der mathematischen Erkenntnis. Die höheren arithmetischen Reihen
werden von Jakob Bernoulli behandelt, der die Summenformel für die
Reihen von der Form 1" + 2" 3" 4 4" _,..n" aufstellt. Sein Bruder
Johann Bernoulli (1667—1748), der Lehrer Eulers, zeigt die Zerlegung
gebrochener Funktionen in Partialbrüche nach der Methode der unbe-
stimmten Koeffizienten. Dem Ausdruck „Fakultät“ und der Bezeichnung
n! für das Produkt 1.2.3.4...n begegnen wir zuerst 1799 in einer Ab-
handlung von Kramp (1760—1826). In der sphärischen Trigonometrie
stellt Legendre, dem wir die Einführung des Begriffs der geodätischen
Linien verdanken, den wichtigen, nach ihm benannten Satz auf, daß
ein Kugeldreieck mit kleinen Seiten als ein ebenes behandelt werden
kann, nachdem jeder Winkel um ein Drittel des sphärischen Exzesses
vermindert ist. Legendre erwirbt sich auch besondere Verdienste um die
Elementargeometrie, in deren Beweisführung er das Prinzip der Symmetrie
hineingebracht hat. Die Sorgfalt, mit der Legendre, wie andere Geometer
seiner Zeit, die Paralleltheorie behandeln, kommt der Einsicht in die
letzten Grundlagen unserer Geometrie zugute und bereitet auf die nicht-
euklidische Geometrie vor. -
