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I. Abschnitt: Altertum und Mittelalter. 
Für den Sinussatz der sphärischen Trigonometrie gibt er mehrere Beweise. 
Die Astronomie des in Sevilla lebenden Dschabir ibn Aflah, bekannter 
unter dem Namen Geber (um 1050) beginnt ebenfalls mit einer Trigono- 
metrie, in der er, abweichend von Ptolemäos und den vor ihm lebenden ara- 
bischen Mathematikern, nicht von der Regel der sechs Größen, d. h. dem 
Satze des Menelaos, ausgeht, sondern von einer Regel der 4 Größen, die 
identisch ist mit dem für das rechtwinklige Dreieck bestehenden Satze 
sin «x = a aus der er dann cos c = cosa-cosb und den von keinem 
seiner Vorgänger aufgestellten Satz: cos 8 = cos b-sin «x herleitet, der 
nach ihm auch der Gebersche Satz genannt worden ist. Die völlige Los- 
lösung der Trigonometrie von der Astronomie und ihre Behandlung als 
selbständige geometrische Wissenschaft vollzieht Nasr Eddin (+ 1274) 
in seiner Abhandlung über die Figur der Schneidenden. In der ebenen 
Trigonometrie kennt er den Sinussatz, in der sphärischen Trigonometrie 
die der Negerschen Regel entsprechenden 6 Formeln des rechtwinkligen 
Dreiecks; er behandelt aber auch alle Fälle des schiefwinkligen Dreiecks. 
und führt hierbei den Fall der 3 Winkel auf den der drei Seiten zurück, 
indem er zu dem gegebenen Dreieck das Polardreieck bildet. 
Wie die geometrischen Probleme, so verstanden die Araber auch die 
trigonometrischen in algebraische Gleichungen umzuwandeln. So kam 
Al Dschud auf die kubische Gleichung, die den Zusammenhang des sinus, 
eines Winkels mit dem sinus seines dritten Teiles ausdrückt. Omar Alchai- 
jami löste schließlich die Behandlung der kubischen Gleichungen von 
speziellen geometrischen Problemen los und beschäftigte sich mit den 
Gleichungen als solchen, wobei er die dreigliedrigen von den viergliedrigen 
unterschied. Er jedoch, wie alle arabischen Mathematiker nach ihm, 
waren von der Unmöglichkeit, die kubischen Gleichungen rein algebraisch 
zu lösen, überzeugt und versuchten ihre Lösung durch Konstruktion 
einander schneidender Kegelschnitte. Derselbe Alchaijami scheint schon. 
die binomische Formel für (a + b)" gekannt zu haben. Von den Indern 
her war den Arabern das Verfahren des Ausziehens der Quadratwurzel und 
Kubikwurzel nach den Formeln (a + b)? = a? + 2ab + b?, (a + b)? = 
a? + 3a?b + 3ab? + b? bekannt geworden, und Alchaijami lehrte auch 
das Ausziehen der vierten, fünften, sechsten und höherer Wurzeln, was. 
doch die Kenntnis der allgemeinen binomischen Formel zur Voraussetzung 
hat. Von den arithmetischen Leistungen der Araber sei hier noch darauf 
hingewiesen, daß wir bei Alkarchi die Formel für die Summe der auf- 
einanderfolgenden Kubikzahlen 1% +23 +3% +...n® =(1+2+3... 
+ n)?, bei Alkaschi die Formel für die Summe der aufeinanderfolgenden 
4. Potenzen finden, daß Alchodschandi einen, leider verloren gegangenen, 
Beweis für die Unmöglichkeit der Gleichung x? + y3 = z? gegeben hat.