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CHAPITRE XII. 
angles g, a , iv augmentent de 2-. Une fonction réelle de ces coor 
données, dépourvue de singularités dans le domaine réel à distance 
finie, ainsi que nous le supposerons toujours, est donc développable 
en série de Fourier, toujours convergente, procédant suivant les 
cosinus et sinus des multiples de l’un ou l’autre des angles g, u , w. 
L’importance de ces développements est manifeste, et ce sont eux 
qu’il faut tout d’abord étudier. 
Nous ferons clans ce qui suit 
x — e'ff, y — e iu , 
= e lw , 
e désignant comme d’habitude la base des logarithmes hyperboliques, 
dont la caractéristique sera log, et i l’imaginaire \J — 1. 
Un développement de Fourier par rapport à g, par exemple, peut 
s’écrire d’une façon plus avantageuse sous la forme d’une série de 
Laurent 
/ a n x”, 
a prenant toutes les valeurs entières, positives ou non. 
La fonction f étant supposée généralement de la forme -f- if - 2 , 
ft et /■> étant réelles, mettons en évidence la partie réelle et la partie 
imaginaire du coefficient a n en écrivant 
a n — a n •+■ ¿{ht > 
on aura, sous forme réelle, 
•+- » + CO 
/1 («« cos ng — [U sin/i^), /2=2 (P» cos n ë sin ng). 
O11 aura une forme équivalente, que nous appellerons symétrique , 
en écrivant 
/.=2 
a«-t-a-n (U— ¡3_„ . 
cos ng sin ng , 
-F 30 
r , <*n— a-n ■ \ 
Â=2d ( —2— cosn #-* — sin «* 
de façon que les coefficients de cos ng et cos(— 11g) soient égaux,