134 & 5. Anwendungen der ebenen Trigonometrie 
Collinsschen Punkte. Dieser Punkt, in dem die Gerade DC den durch 
A, B, D gehenden Kreis trifft, werde mit D' bezeichnet. Man bemerkt 
sogleich, daß &X D'’AB = a, << D'’BA = ß ist. Demnach wird D' er- 
halten, indem man von der Basis AB aus mit dem Winkel « bei A 
and mit ß bei 5 vorwärtseinschneidet, d.h. diese beiden Winkel 
auf der Seite an AB anlegt, die den unendlich fernen Punkt der Ziel- 
linie DC enthält. Die Gerade D'C ist erster Ort für D. Man beachte, 
daß die Punkte D, D' vertauschbar sind: macht man D' zum Augen- 
punkt, so wird D der zugehörige Collinssche Punkt, Setzt man also 
X AD'C = ß', x CD'B = «', so wird D erhalten, indem man von AB 
aus mit @' bei 4 und mit ß' bei B vorwärtseinschneidet, d.h. diese Winkel 
auf der Seite von AB anlegt, die den unendlich fernen Punkt der Ziel- 
linie D'C enthält. Es genügt natürlich, bloß einen der beiden Winkel 
anzulegen, da D'C bereits Ort für D ist. 
Zur vollständigen Orientierung sind drei Figuren zu zeichnen: eine, 
in der D außerhalb des Dreiecks ACB, aber innerhalb des Winkelfeldes 
ACB liegt; eine zweite, in der D außerhalb des Dreiecks ACB liegt und 
dem Scheitelfelde des Winkels ACB angehört; endlich eine dritte, in der 
D innerhalb des Dreiecks ACB liegt. Im letzten Falle ist « + ß > 180°, 
weshalb D' auf die Verlängerung von C.D (nicht von DC) fällt. 
Will man das Rückwärtseinschneiden als rein trigonometrische 
Aufgabe (ohne Einführung von Koordinaten) behandeln, so ist die An- 
wendung des Burckhardtschen Hilfswinkels zu empfehlen. Die 
Rechnung nimmt dann, ohne Rücksicht auf den Collinsschen Punkt, fol- 
genden. Gang. Die Zielwinkel «, ß werden so verstanden, wie oben an- 
zegeben ist. Außerdem sei noch BC = a, AC=®%, DA=Ss,, DB=S$,, 
DO = 8, XDB0O=g9, XDAC= 0. Dann gewinnt man durch zwei- 
malige Anwendung des Sinussatzes leicht die Beziehung: 
sin __ @ sin ß , . 
sing bsin« 
sın 
nn = ig ®, 
zo ist @ der Burckhardtsche Winkel. Sein numerischer Wert wird zu- 
nächst ermittelt aus der Gleichung: 
ig 0 = sin, 
5 bsin« 
Darauf berechnet man die halbe Summe der Winkel g, ı% aus der Be- 
ziehung: 
PER 180° — 5 (a +B +7): 
Hier ist unter y der an der Ecke C liegende Winkel des Vierecks ACBD 
zu verstehen: liegt also D im Scheitelfelde des hohlen Winkels ACB,