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8 6. Verknüpfungen im Raume 
Die Parallelprojektion F” von F auf die Ebene « besteht aus 
den Spuren einer beliebigen Schar von parallelen Geraden, die durch 
die Punkte von / gehen. Liegen wieder die Punkte von /F auf einer 
teraden g, so bestimmt jede der projizierenden Parallelen mit g eine 
Ebene ß, in der auch alle übrigen liegen, 
Schneiden sich die Ebenen x und ß in der Geraden g', so liegen 
in beiden Fällen die Punkte von ' auf g'. Man sagt auch, qg werde 
durch die Ebene ß nach g' projiziert. 
Wenn die Gerade g die Projektionsebene « schneidet, so liegt der 
Schnittpunkt in jedem Falle auf g’', weil er mit seiner eigenen Projektion 
zusam menfällt. 
Ist endlich die Gerade g der Projektionsebene « parallel, so ist sie 
stets auch ihrer Projektion g' parallel. 
Erstreckt sich eine Zentralprojektion auf zweiunter sich parallele 
gerade Linien, so schneiden sich die beiden projizierenden Ebenen, wenn 
sie nicht zusammenfallen, in einer Kante, die den beiden Geraden parallel 
ist. Wenn also die Geraden selbst die Projektionsebene treffen, so wird 
diese auch von der bezeichneten Kante getroffen, und durch deren Spur 
gehen somit auch die beiden Projektionen. Wird aber eine Parallel - 
orojektion auf parallele gerade Linien angewandt, so sind die pro- 
‘izierenden Ebenen einander parallel und daher auch die Projektionen. 
Hy. 
7. Erste Einführung in die Geometrie der Lage. Die einfachen Sätze, die 
wir in diesem Paragraphen bewiesen haben, führen zu einigen weiteren Sätzen, die 
für die Entwicklung der Geometrie von weittragender Bedeutung geworden sind, 
An erster Stelle erwähnen wir den Satz von Desargues: 
Wenn die Eckpunkte zweier Dreiecke auf drei von einem Punkte ausgehenden 
Geraden liegen, so schneiden sich die einander entsprechenden Seiten in drei 
Punkten, die einer geraden Linie angehören. 
Wir wollen den Satz zunächst in anderer Weise aussprechen. Zu dem Ende 
gezeichnen wir zwei Gebilde als perspektiv zugeordnet, wenn jedem Punkte des 
ainen ein Punkt des anderen in der Weise entspricht, daß die Verbindungsgeraden 
antsprechender Punkte sämtlich durch einen festen Punkt, das Perspektivitäts- 
Zentrum, gehen. Hiernach können wir dem aufgestellten Satze die Form geben: 
Die entsprechenden Seiten von zwei perspektiven Dreiecken schneiden ein- 
ander in drei Punkten einer geraden Linie. Die Dreiecke ABC und A'B'C’ mögen 
sinander für das Zentrum S perspektiv zugeordnet sein, Hiernach liegen die Geraden 
BC und B’C’ in einer Ebene; wenn sie nicht parallel sind, so schneiden sie sich 
‚n einem Punkte U. Ebenso mögen die Geraden CA und €’ A' in einem Punkte V, 
die Geraden AB und A'B’ in einem Punkte W zusammenstoßen. Wenn die Ebenen 
ABC und A'B'C' nicht zusammenfallen, so gehören die Punkte U, V, W zwei 
übenen, also einer Geraden an. 
Liegen aber die Dreiecke ABC und 4’ B’C' in derselben Ebene, so lasse man 
von S eine Gerade ausgehen , die dieser Ebene nicht angehört, und wähle in ihr die 
Punkte S’ und SS’. Da die Geraden AS’ und A'S" in der Ebene ASS’ liegen, so 
schneiden sie sich im allgemeinen in einem Punkte 4’; ebenso mögen die Geraden 
BS' und B'S'" durch einen Punkt B”, die Geraden CS' und C'’S'" durch einen 
Punkt C” gehen. Dann gehört der Schnittpunkt U der Geraden BC und B'’C' auch