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Strecken zwischen parallelen Ebenen. Mittelebene. Lote einer Ebene 159 
man durch einen beliebig gewählten Punkt D immer eine Gerade ziehen, 
Jie beide Mittellote schneidet. Sind X, F die Schnittpunkte, so stimmen 
Jie Dreiecke AEF und BE F in den Seiten 
;berein und sind demnach kongruent. Bringt 
man sie durch Drehung um die Achse £ 3” 
zur Deckung, so fällt AD mit BD zu- 
sammen. Es hat also jeder Punkt der Ebene « 
ron A und B gleiche Entfernung 
Versteht man noch unter G einen Punkt, 
Jer außerhalb der Ebene x und etwa mit 4 
auf derselben Seite von ihr liegt, so 
;rifft die Strecke GB die Ebene in einem 
Punkte 4. Nun ist GA<GH+MHA, und da HA = HB, auch 
GA <GB. 
Hiernach ist der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei 
gegebenen Punkten 4 und B gleichweit entfernt sind, eine 
Ebene. Sie wird als Mittelebene oder Symmetrieebene zwischen den beiden 
Punkten bezeichnet und ist bestimmt durch zwei Mittellote der Strecke 
AB oder durch drei Punkte, die von A und B gleichweit entfernt sind, 
aber nicht in gerader Linie liegen. Von den beiden Punkten 4, B heißt 
jeder der Gegenpunkt oder Spiegelpunkt des andern an der Mittelebene. 
3. Senkrechter Schnitt einer Geraden und einer Ebene. 
Jede Gerade, die in der Mittelebene « der beiden Punkte 4, B liegt und 
hier durch die Spur C der Geraden AB geht, ist senkrecht zu AB, weil 
hre Punkte von A und B gleichweit entfernt sind. Man sagt daher, daß 
Jie Gerade AB und die Ebene « sich senkrecht schneiden, und nennt 
‚uch AB ein Lot von «. Es ist also auch statthaft, den Satz auszusprechen: 
Wenn drei gerade Linien durch denselben Punkt gehen und eine von ihnen 
auf den beiden andern senkrecht steht, so ist sie ein Lot der durch diese 
beiden bestimmten Ebene.) 
Da außerhalb der Mittelebene «x kein Punkt von 4 und B gleich- 
weit entfernt ist, so liegen alle Senkrechten, die AB im Punkte C hat, 
in der Mittelebene. Demnach können auch die Satzformen gebildet werden: 
Dreht sich ein rechter Winkel um einen Schenkel, so beschreibt der 
andere eine Kbene.?) 
1) Für diesen Satz findet man in den Lehrbüchern immer noch zuweilen den 
schwerfälligen euklidischen Beweis, der fünf Paare von kongruenten Dreiecken be- 
autzt. Der bekannte Beweis von Legendre, in dem der pythagoreische Lehrsatz 
angewandt wird, hat mit Recht wenig Verbreitung gefunden. Der hier vorgetragene 
Gedankengang kommt in der Hauptsache auf den Beweis von Crelle hinaus. 
2) Es ist nicht angebracht, diesen Satz den vier Axiomen der räumlichen 
Verknüpfung als fünftes beizufügen, wie es in Lehrbüchern wohl geschieht. 
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