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8 1. Wissenschaftliche Begründung der ebenen Trigonometrie 
Grunde darf man bei bloßen Berechnungen nicht stehen bleiben, sondern 
muß den Schülern zeigen, daß die Trigonometrie sich nicht auf Rech- 
nungsvorschriften beschränkt, sondern wesentlich zum Fortschritt unserer 
Wissenschaft beizutragen vermag. 
Solange die Theorie der Kreisfunktionen noch gar nicht oder doch 
nur mangelhaft entwickelt war, mußte man manche Formeln dadurch 
zewinnen, daß man die Maßzahlen der in einer Figur vereinigten Strecken 
durch Rechnung miteinander in Beziehung setzte. Auf diesem Wege 
haben bereits die alten Griechen manches schöne Resultat erhalten; 
wir erinnern nur an die heronische Formel für den Inhalt eines Dreiecks 
[8 2, 9. Formel (17)]. Derartige Untersuchungen werden auch heute noch 
vielfach der Planimetrie zugewiesen. Ja, es gewinnt zuweilen den An- 
schein, als seien manche Lehrer der Mathematik der Ansicht, der Ge- 
orauch der Kreisfunktionen mache das Wesen der Trigonometrie aus und 
demgemäß seien alle Partien, bei denen ihre Anwendung entbehrt werden 
könne, der Planimetrie zuzuweisen. Wer aber unbefangenen Blickes 
diese Teile prüft, wird zugestehen müssen, daß sie in die Planimetrie 
nicht passen und erst in der Trigonometrie ihre natürliche Stelle finden. 
Sie haben weder mit den übrigen Teilen der Planimetrie noch untereinander 
einen festen Zusammenhang. Um so inniger sind sie mit Sätzen ver- 
bunden, die in der Trigonometrie behandelt werden müssen. Zudem ge- 
winnt die Herleitung durchweg an Einfachheit und Schönheit, sobald 
man sich entschließt, die trigonometrischen Funktionen hinzuzunehmen. 
Einzelne Formeln, die im planimetrischen Unterricht nuraufeinem lästigen 
Wege entwickelt werden können, drängen sich in der Trigonometrie ganz 
von selbst auf. Sobald man also alle diese Partien der Trigonometrie 
zuweist. gewinnt man viel Zeit, die für fruchtbringende Übungen benutzt 
werden kann. Wir möchten aber noch auf einen anderen Punkt hin- 
weisen. Wenn der Schüler schon beim planimetrischen Unterricht an- 
gehalten wird, Formeln oder Lehrsätze durch Rechnung herzuleiten, so 
verliert er den Blick für die Würdigung rein geometrischer Beweise. 
Daraus erwächst aber die Gefahr, daß er in der Raumanschauung nicht 
genug geübt wird und auf diese Weise gerade das wichtigste Ziel nicht 
erreicht, das dem geometrischen Unterricht gesteckt ist. - Daß aber die 
Planimetrie nicht zu kurz kommt, wenn man alle hier bezeichneten Par- 
tien der Trigonometrie zuweist, glauben wir im ersten Bande unseres 
Werkes hinlänglick klargelegt zu haben. 
Demgemäß dürfen wir die beiden folgenden Sätze aussprechen: 
a) Der Unterricht in der Planimetrie soll vor allem die Raum- 
anschauung pflegen; er soll deshalb selbst kleinere Rechnungen nach 
Möglichkeit, größere aber vollständig vermeiden. 
b) Der trigonometrische Unterricht darf sich nicht darauf beschrän- 
ken, die Schüler mit den Vorschriften bekanntzumachen, nach denen aus 
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