176 $ 10. Dreikante und sphärische Dreiecke 
Den Satz (3) hat Cavalieri unabhängig von den drei anderen be- 
wiesen, indem er zeigte, daß die Felder der drei Winkel eines sphärischen 
Dreiecks zusammen mehr als die Hälfte der Kugel bedecken.!) Da in- 
dessen die Größe eines sphärischen Winkels und die Größe seines Feldes 
zwei verschiedene Begriffe sind, so wird man kaum geneigt sein, den 
fraglichen Beweis an dieser Stelle zu benutzen. Eher dürfte es sich 
ampfehlen, bei der Besprechung des Inhaltes sphärischer Dreiecke auf 
ihn hinzuweisen. 
Der Satz (2) bedarf des Beweises nur in dem Falle, daß eine Seite 
größer ist als jede der beiden anderen. Man kann dann den Nachweis 
am Dreikant führen, indem man auf dieser größten Seite eine der beiden 
anderen abträgt und zeigt, daß der Rest kleiner ist als die dritte Seite. 
Der Beweis ist in den Lehrbüchern so verbreitet, daß hier auf eine 
Wiederholung verzichtet werden kann. 
Der Satz (1) eignet sich bei weitem am besten als Ausgangspunkt. 
Er gehört zu den hervorstechenden Merkmalen der sphärischen Geometrie 
and läßt sich am Kugeldreieck in besonders einfacher Weise begründen. 
Man bedarf dazu nur des planimetrischen Hilfssatzes, daß zu ein und 
derselben Sehne im größeren Kreise der kleinere Zentriwinkel gehört. 
Das ergibt sich sogleich aus dem Satze vom Außenwinkel, wenn man 
durch die Endpunkte einer Strecke zwei Kreise von ungleichen Radien 
zieht. Sind nun 4, B, C drei Kugelpunkte, die nicht auf einem Haupt- 
Kreise liegen, so sind die Seiten des ebenen Dreiecks ABC Sehnen 
sowohl in seinem Umkreise als auch in drei Hauptkreisen. In dem Um- 
kreise gehören aber zu den drei Sehnen drei Zentriwinkel, deren Summe 
360° beträgt, wenn das ebene Dreieck keinen stumpfen Winkel enthält; 
dagegen bleibt die Summe unter 360°, wenn es stumpfwinklig ist. Die 
Summe der Zentriwinkel, die in den Hauptkreisen denselben drei Sehnen 
zugeordnet sind, ist also stets kleiner als 360°. Den so erhaltenen 
Satz (1) braucht man z. B. nur auf das Nebendreieck mit den Seiten a, 
180°—b, 180°— c anzuwenden, um die Beziehung: a <b + c zu erhalten. 
Für die Winkelsumme gilt schließlich, daß sie stets größer als 2R 
and kleiner als 6 R ist, für den Außenwinkel, daß er immer größer als 
lie Differenz, aber kleiner als die Summe der beiden Innenwinkel ist, an 
denen er nicht liegt. 
4. Kongruenz und Symmetrie. Die Bewegbarkeit eines sphäri- 
schen Dreiecks ABC auf der Kugelfläche, der es angehört, ergibt sich 
aus der Bewegbarkeit des Dreikants 0(4BC) um den Punkt O0. Es gibt 
also auf derselben Kugel Paare von gleichläufigen Dreiecken ABC 
and DEF, bei denen die Beziehungen: 
AB=DE, BOÜ=EF, CA=FD: Zz4A=D, <B=E,)XC=F 
1) Baltzer, Elemente d. Math. 5. Aufl. IL _S. 167.