178 $ 10. Dreikante und sphärische Dreiecke
Verfahren bei den inzwischen fortgeschrittenen Schülern mit breit-
spuriger Sorgfalt ausführen läßt.
Der Satz (2) wird an gegenläufigen Dreiecken ABC und DEF
erwiesen, indem man BC mit X F vereinigt. Die gemeinsame Seite ist
lann Mittellot der Strecke AD; diese Bemerkung genügt, um den Be-
weis auf (1) zurückzuführen. Durch Polarisation gewinnt man (6).
Der Satz (3) ist:an gegenläufigen Dreiecken leicht zu begründen,
indem man die gleichen Katheten vereinigt. Ist die Summe der beiden
andern Katheten kleiner als 180% so wird sie Grundlinie eines gleich-
schenkligen Dreiecks, und die gemeinsame Kathete trifft den Pol der
arundlinie. Da dieser nicht mit der Spitze des gleichschenkligen Drei-
acks zusammenfällt, so ist die gemeinsame Kathete das Mittellot der
Grundlinie, das identisch ist mit der Halbierungslinie des Winkels an
der Spitze. Die Symmetrie der gegebenen Dreiecke folgt also aus (1).
[st die Summe der fraglichen Katheten gleich 180°, so entsteht statt des
zleichschenkligen Dreiecks ein Kugelzweieck. Ist endlich die Summe
zrößer als 180°, so haben die gegebenen Dreiecke zwei symmetrische
Nebendreiecke. Wenn die gemeinsame Kathete 90° zählt, so verliert
Satz (3) seine Gültigkeit, wie man bemerkt, wenn man drei beliebige Punkte
aines Hauptkreises mit einem seiner Pole verbindet.
Der Satz (4) ergibt sich am einfachsten durch folgende Überlegung.
Trägt man auf den Schenkeln eines sphärischen Winkels A, der 180°
nicht erreicht, die gleichen Strecken A Bund A C ab, so ist die Halbierungs-
linie des Winkels das Mittellot von BC, wie sich aus dem Satz (1) er-
gibt. Da sie aber nicht Polare von B und C ist, so kann von jedem
dieser Punkte nur ein Lot auf sie gefällt werden. Man kann also auch
sagen, daß die beiden von B und C auf die Halbierungslinie des Winkels
A gefällten Lote zusammenfallen. Damit ist der Satz (4) bewiesen für
den Fall, daß die gegebenen Dreiecke gegenläufig sind und in einem
Winkel übereinstimmen, der kleiner als 90° ist. Sollte der fragliche
Winkel größer als 90° sein, so findet man wieder, daß sie zwei symme-
irische Nebendreiecke haben. Ist aber der Winkel gleich 90°, so wird
der Satz (4) ungültig. Das ergibt sich sogleich, wenn man irgendeinen
Punkt eines Hauptkreises mit dessen beiden Polen verbindet, dann noch
einen zweiten Punkt mit dem einen und einen dritten Punkt mit dem
andern Pole.
Die beiden Sätze (7) und (8) mögen als minder wichtig angesehen
and mehr als bloße Übung im Formen von Polarsätzen benutzt werden.
5. Wechselbeziehungen zwischen Seiten und Winkeln. Von
den folgenden acht Sätzen haben die vier Hauptsätze (1), (5) und (2),
(6) denselben Wortlaut wie bei ebenen Dreiecken. Die übrigen vier sind
nützlich zur Orientierung in der sphärischen Trigonometrie. In diesen
vier Sätzen ist das auf zwei Stücke angewandte Wort gleichartig in dem
