180 8 10. Dreikante und sphärische Dreiecke 
Die Sätze (7) und (8) mögen als Übungen im Gestalten von Polar- 
sätzen dienen. 
Aus den Sätzen (3) und (4) ergeben sich noch zwei bemerkenswerte 
Folgerungen, eine für das gleichschenklige und eine für das gleich- 
seitige Kugeldreieck. Im gleichschenkligen Dreieck ist die halbe Grund- 
linie stets kleiner als 90°. Demnach sind die beiden gleichen Seiten immer 
mit der zur Grundlinie gehörigen Höhe und daher auch mit den Winkeln 
an der Grundlinie gleichartig. Im gleichseitigen Dreieck sind also stets 
die Winkel mit den Seiten gleichartig. Läßt man in diesem Dreieck die 
Seiten hinreichend klein werden, so kann man im zugehörigen Polar- 
üdreieck die Seiten beliebig nahe an 120° und die Winkel beliebig nahe 
an 180% bringen. Diese Beträge sind also die oberen Grenzen für die 
Seiten und Winkel eines gleichseitigen Kugeldreiecks. 
6. Umkreis, Inkreis, Ankreise eines Kugeldreiecks. Die 
Kcken eines sphärischen Dreiecks bestimmen eine Ebene, die den Mittel- 
punkt der Kugel nicht trifft und sie daher in einem Nebenkreise schneidet. 
Im Sinne der sphärischen Geometrie hat dieser Kreis einen eindeutig 
Jlefinierten Mittelpunkt und Radius (8 9, 1) und ist der Umkreis des 
Dreiecks. Die Mittellote der Seiten des Kugeldreiecks müssen den sphä- 
rischen Mittelpunkt seines Umkreises treffen. Durch zwei von ihnen 
kann also dieser Punkt bestimmt werden. 
Trägt man in einen Nebenkreis der Kugel ein Dreieck ABC ein, 
30 kann der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks liegen oder 
auf einer Seite, etwa auf BC, oder innerhalb eines Nebendreiecks, etwa 
in A,BC, wenn 4, der Gegenpunkt von A ist. 
Verbindet man im ersten Falle den Mittelpunkt des Kreises mit den 
Ecken 4, B, C, so entstehen drei gleichschenklige Dreiecke, deren Grund- 
linien a, 6, c sind. Die Winkel an diesen Grundlinien sind der Reihe 
nach 6— &, 6— ß, 6— y, wenn « + ß ++») = 206 gesetzt wird. Um 
liese Beträge zu finden, hat man nur zu beachten, daß gleichen Seiten 
eines Dreiecks gleiche Winkel gegenüberliegen. Von den Winkeln «, ß, 7 
ist in diesem Falle jeder kleiner als die Summe der beiden andern; denn 
aus 6—a#>0 folgt z.B.« <ß +7. Für die Größe der einzelnen Winkel 
gibt es dabei keine allgemeingültige Grenze. Wenn der gegebene 
Kreis einem Hauptkreise hinreichend nahekommt, so können z. B. die 
Winkel des eingetragenen gleichseitigen Dreiecks beliebig nahe an 180° 
kommen. 
Im zweiten Falle ist 6— «x = 0, also der Winkel « gleich der Summe 
3 +). Da stets 6 > 90° ist, so ist jetzt immer der Winkel «x stumpf. 
Die beiden Winkel ß und y dagegen sind beide spitz, weil eine sphärische 
Gerade, die auf einem Kreisdurchmesser in einem seiner Endpunkte 
senkrecht steht, den Kreis berührt.