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Umkreis und Berührungskreise eines Kugeldreiecks 181 
Im dritten Falle endlich ist 6 — « <O, also der Winkel « größer 
als die Summe ß + v7. Auch hier ist« stumpf, und ß, y sind beide spitz. 
Da hiermit die möglichen Fälle erschöpft sind, so gilt auch um- 
gekehrt: Ist in einem Kugeldreieck jeder Winkel kleiner als die Summe 
Jer beiden anderen, so liegt der Mittelpunkt des Umkreises innerhalb 
les Dreiecks; ist ein Winkel gleich der Summe der beiden anderen, so 
liegt er auf der Gegenseite dieses größten Winkels; ist endlich ein Winkel 
größer als die Summe der beiden anderen, so liegt er in dem Nebendreieck, 
Jas diesen größten Winkel enthält. 
Jedes Kugeldreieck bestimmt seine drei Nebendreiecke; man kann 
‘hm also auch deren Umkreise zuordnen. 
Die Halbierungslinie eines sphärischem Winkels erhält man in der- 
selben Weise wie die eines ebenen. Sie ist Ort aller Punkte, die von 
jen Schenkeln des Winkels gleichen Abstand haben. Demnach gehen 
Jie Halbierungslinien der Winkel eines Kugeldreiecks durch einen Punkt, 
den Mittelpunkt seines Inkreises. Dessen sphärische Abstände von den 
Zeiten liegen nach dem Satze (3) in Nr 5 innerhalb des Dreiecks. Für 
Jie Abschnitte, die durch dessen Berührungspunkte auf den Dreiecks- 
seiten erzeugt werden, findet man, wenn a + b + c=2s gesetzt wird, 
lie Beträge: s — a, s— b, s—c. Die Ankreise eines Kugeldreiecks sind 
nichts anderes als die Inkreise seiner Nebendreiecke. 
Bewegt sich ein Hauptkreis auf der Kugel so, daß er beständig einen 
Festen Nebenkreis berührt, so durchläuft der mit dem festen Kreise auf 
Jerselben Seite liegende Pol von ihm einen zweiten Nebenkreis, dessen 
Mittelpunkt mit dem des ersten zusammenfällt und dessen Radius den 
des ersten zu 90° ergänzt. Denn man erhält den fraglichen Pol immer, 
indem man den Berührungsradius zu einem Bogen von 90° ergänzt. Der 
‚weite Kreis heißt Polarkreis des ersten. Man kann demnach sagen, 
Jaß zwei konzentrische Kreise mit komplementären Radien Polarkreise 
zueinander sind. Auf jeder Hälfte der Erdkugel sind der geographische 
Polarkreis und der Wendekreis zueinander polar. 
Da nun der Inkreis eines Dreiecks von den Seiten berührt wird, so 
liegen die Ecken des Polardreiecks auf dem zugeordneten Polarkreise. 
Der Umkreis eines Dreiecks und der Inkreis des Polardreiecks sind also 
Immer zwei zusammengehörige Polarkreise. Daher sind auch die Ankreise 
aines Dreiecks polar zu den Umkreisen seiner Nebendreiecke. 
7. Winkelüberschuß und Fläche eines Kugeldreiecks. Wie 
jei der Behandlung der Flächengleichheit ebener Figuren das Rechteck, 
30 spielt bei der Flächenvergleichung auf der Kugel das sphärische Winkel- 
’eld (Zweieck) eine Hauptrolle. Zu gleichen Winkeln gehören kon gruente 
sphärische Felder, und wenn man die zu den Winkeln «, ß gehörigen 
Felder mit (x), (8) bezeichnet, so ist (@x) + (ß) = («+ ß). Die Halbkugel 
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