Winkelüberschuß und Fläche eines Kugeldreiecks 183 
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8 11. Konvexe Vielkante und sphärische Vielecke, 
|. Erklärungen. Die Definition des konvexen Vielkants 1äßt sich 
‚uf die des konvexen ebenen Vielecks zurückführen (Bd. I S.61). Zieht 
nan von einem Punkte aus, der nicht in der Ebene des Vielecks liegt, 
Halbstrahlen durch dessen Ecken, so bestimmen diese ein konvexes 
Vielkant. Die Ausdrücke: Seiten, Winkel, Scheitel, Inneres, Äußeres 
werden hier verstanden wie beim Dreikant. Macht man den Scheitel des 
Vielkants zum Mittelpunkt einer Kugel, so erhält man auf dieser das 
konvexe sphärische Vieleck. Die beiden Figuren heißen regelmäßig, wenn 
sie je für sich gleiche Winkel und gleiche Seiten haben. 
Wählt man irgend zwei benachbarte Ecken des konvexen sphärischen 
Vielecks aus, so liegen die übrigen % — 9 Ecken stets außerhalb des durch 
Jie beiden ersten bestimmten Hauptkreises und alle auf derselben Seite 
zon ihm. Fordert man diese Eigenschaft von vornherein, so ist dadurch 
ler konvexe Charakter des Kugelvielecks, unabhängig von der obigen 
Definition, ebenfalls festgelegt. Es folgt daraus, daß unter den Ecken 
aicht zwei Gegenpunkte sein können, da jede dritte Ecke mit diesen auf 
lemselben Hauptkreise liegen würde. 
2. Polarfiguren. Sind a,b,‚c,... die Seiten eines sphärischen 
Vielecks, so seien A', B',C',... ihre mit dem Vieleck auf derselben Seite 
liegenden Pole und „A", B"', C",... deren Gegenpunkte. Dann bilden 
lie zuerst genannten Pole die Ecken der gleichläufigen Polarfigur des 
arsprünglichen Vielecks, und ihre Gegenpunkte bestimmen ebenso seine 
gegenläufige Polarfigur. Die Seiten der beiden neuen Figuren sind auch 
wieder die Polaren zu den Ecken des gegebenen Vielecks; denn es liegen 
z.B. die Pole von @ und b auf der Polare der von diesen beiden Seiten 
gebildeten Ecke. Endlich findet man auch hier, genau wie bei Polar- 
lreiecken, die Beziehungen: @ + «' = 180°, a + «" = 180° usw. Die 
Seiten eines sphärischen Vielecks sind also die Supplemente der ent- 
sprechenden Winkel in den beiden ihm zugeordneten Polarfiguren. Die 
„eiden zu einem Vielkant gehörigen Polarformen werden als seine Polar- 
‚cken bezeichnet. Die gegenläufige kann auch hier in anschaulicher Weise 
jadurch gewonnen werden, daß man von einem Punkte innerhalb des 
zegebenen Vielkants aus die Lote auf dessen Seiten fällt. 
Zwei Polarkreise auf der Kugel können als Grenzformen von zwei 
zueinander polaren Vielecken aufgefaßt werden. 
3. Umfang und Winkelsumme. Den beiden Polarsätzen über 
Umfang und Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks entsprechen genau 
Jie beiden folgenden über das konvexe sphärische Vieleck. 
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